Question

（本小題滿分16分）

已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列．

（1）若，且，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；

（2）在（1）的條件下，數(shù)列的前和為，設(shè)，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的最小值；

（3）若數(shù)列中有兩項可以表示為某個整數(shù)的不同次冪，求證：數(shù)列　中存在無窮多項構(gòu)成等比數(shù)列．

 

Answer 1

【答案】

（1）的通項公式．（2）實數(shù)的最小值為．

（3）有等比數(shù)列，其中．   

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和的綜合運(yùn)用。

（1）因為因為 又因為是正項等差數(shù)列，故，利用等差數(shù)列的某兩項可知其通項公式的求解。

（2）因為，可知其的通項公式，利用裂項求和的思想得到結(jié)論。

（3）因為這個數(shù)列的所有項都是正數(shù)，并且不相等，所以，

設(shè)其中 是數(shù)列的項，是大于1的整數(shù)，

分析證明。

（1）因為 又因為是正項等差數(shù)列，故

所以，得或(舍去) ，

所以數(shù)列的通項公式．………………………………………………4分

（2） 因為，

，

    

　　 ，

令，則， 當(dāng)時，恒成立，

所以在上是增函數(shù)，故當(dāng)時，，即當(dāng)時，， 要使對任意的正整數(shù)， 不等式恒成立，

則須使， 所以實數(shù)的最小值為．…………………………10分

（3）因為這個數(shù)列的所有項都是正數(shù)，并且不相等，所以，

設(shè)其中 是數(shù)列的項，是大于1的整數(shù)，，

令，則，

故是的整數(shù)倍，對的次冪，

所以，右邊是的整數(shù)倍．

所有這種形式是數(shù)列中某一項，

因此有等比數(shù)列，其中．    …………………………16分