Question

（08年山東卷理）(本小題滿分14分)

如圖，設(shè)拋物線方程為x²=2py(p＞0),M為 直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.

（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2p）時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程；

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D在拋物線上，其中，點(diǎn)C滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【解析】（Ⅰ）證明：由題意設(shè)

                     由得，則

                     所以

                     因此直線MA的方程為

　　　　　　　　直線MB的方程為

                     所以                   ①

                   ②

由①、②得

因此，即

所以A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)x₀=2時(shí)，

                將其代入①、②并整理得：

              　

              　

　　　　　所以　x₁、x₂是方程的兩根，

              因此

              又

              所以

              由弦長公式得

             

　　　　又，

              所以p=1或p=2，

              因此所求拋物線方程為或

（Ⅲ）解：設(shè)D(x₃,y₃)，由題意得C(x₁+ x₂, y₁+ y₂),

                則CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為

              　設(shè)直線AB的方程為

              　由點(diǎn)Q在直線AB上，并注意到點(diǎn)也在直線AB上，

              　代入得

              　若D（x₃,y₃）在拋物線上，則

              　因此　x₃=0或x₃=2x₀.

                即D(0，0)或

              （1）當(dāng)x₀=0時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)M(0,-2p)適合題意.

              （2）當(dāng)，對于D(0，0)，此時(shí)

              　　又AB⊥CD，

所以

即矛盾.

對于因?yàn)?IMG height=47 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090318/20090318144543036.gif' width=107>此時(shí)直線CD平行于y軸，

又

所以直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，

所以時(shí)，不存在符合題意的M點(diǎn).

綜上所述，僅存在一點(diǎn)M(0，-2p)適合題意.