Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線⊥x軸于點(diǎn)C， ，,動(dòng)點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)D的距離的2倍 
（I）求點(diǎn)的軌跡方程；
（II）設(shè)點(diǎn)K為點(diǎn)的軌跡與x軸正半軸的交點(diǎn),直線交點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)（與點(diǎn)K均不重合）,且滿足 求直線EF在X軸上的截距；
（Ⅲ）在（II）的條件下，動(dòng)點(diǎn)滿足,求直線的斜率的取值范圍 

Answer 1

（Ⅰ）動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：；（Ⅱ）直線EF在X軸上的截距為   ；（Ⅲ）。

（I）依題意知,點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)、直線為其相應(yīng)準(zhǔn)線,
離心率為的橢圓
設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b,焦距為2c,
又，，∴點(diǎn)在x軸上,且,則3，
解之得：,    
∴坐標(biāo)原點(diǎn)為橢圓的對(duì)稱中心 
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：             
（II）設(shè),設(shè)直線的方程為（－２〈n〈2）,代入得
                    
, 
    
，K（2，0）,,
,
 
解得: (舍)     ∴ 直線EF在X軸上的截距為   
（Ⅲ）設(shè),由知, 
直線的斜率為            
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,
時(shí)取“=”）或時(shí)取“=”），
                                
綜上所述