Question

(本小題滿分13分)
如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF,∠BCF=，AD=，EF=2.
（Ⅰ）求證： AE∥平面DCF；
（Ⅱ）若，且二面角A—EF—C的大小為，求的長。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。
（Ⅱ）

（Ⅰ）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC ．  ……    1分
又∵ BE∥CF ， AB∩BE=B，
∴平面ABE∥平面DCF ……   3分
又AE平面ABE，
∴AE∥平面DCF………   5分
（II）過E作GE⊥CF交CF于G，

由已知  EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，
∴EG=AD＝，又EF=2，∴GF=1…6分
∵四邊形ABCD是矩形，∴DC⊥BC ．
∵∠BCF=，　∴FC⊥BC，
又平面AC⊥平面BF，平面AC∩平面BF=BC，
∴FC⊥平面AC ，∴FC⊥CD ．                   …………7分
分別以CB、CD、CF為軸建立空間直角坐標(biāo)系．
∵BE=1，，∴ A（，，0）,E(，0，1),F(0，0，2)，
∴=(0，- ，1)，=（-,0,1）．   …………8分
設(shè)平面AEF的法向量=(x，y，z)，
得，∴="(" ，， )．   ……10分
又=（0，，0）是平面CEF的一個(gè)法向量,
∴    ,即，得=．
∴當(dāng)的值為時(shí)，二面角A—EF—C的大小為   …13分