如圖，四棱錐中,面，、分別為、的中點，，.

（1）證明：∥面；
（2）求面與面所成銳角的余弦值.

(1)見解析；（2）.

解析試題分析：（1）(1) 利用三角形中位線定理，得出∥ .
（2）利用平幾何知識，可得一些線段的長度及，進(jìn)一步以為軸建立坐標(biāo)系，
得到，
確定面與面的法向量、：
由，可得令；
由又，可得令，進(jìn)一步得到.
本題首先探究幾何體中的線面、線線垂直關(guān)系，創(chuàng)造建立空間直角坐標(biāo)系的條件，應(yīng)用“向量法”，確定二面角的余弦值.
解答本題的關(guān)鍵是確定“垂直關(guān)系”，這也是難點所在，平時學(xué)習(xí)中，應(yīng)特別注意轉(zhuǎn)化意識的培養(yǎng)，能從“非規(guī)范幾何體”，探索得到建立空間直角坐標(biāo)系的條件.
試題解析：(1)因為、分別為、的中點，
所以∥        2分
因為面，面
所以∥面        4分
（2）因為
所以
又因為為的中點
所以
所以
得，即     6分
因為，所以
分別以為軸建立坐標(biāo)系
所以
則   8分
設(shè)、分別是面與面的法向量
則，令
又，令     11分
所以     12分

考點：直線與平面、平面與平面垂直，二面角的定義，空間向量的應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，已知，，．

（1）求異面直線與夾角的余弦值；
（2）求二面角平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱⊥底面，，是的中點，作交于點．

（1）證明平面；
（2）證明平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點．沿直線BD將△BCD翻折成△BCD，使得平面BCD平面ABD．

(1)求證：C'D平面ABD；
(2)求直線BD與平面BEC'所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,平面平面,是以為斜邊的等腰直角三角形,分別為,,的中點,,.

(1)設(shè)是的中點,證明:平面;
(2)證明:在內(nèi)存在一點,使平面,并求點到,的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在四棱錐S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,SD=AD=AB,E是SA的中點.

(1)求證:平面BED⊥平面SAB.
(2)求直線SA與平面BED所成角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,四棱錐S-ABCD中,ABCD為矩形,SD⊥AD,且SD⊥AB,AD=a(a>0),AB=2AD,SD=AD,E為CD上一點,且CE=3DE.

(1)求證:AE⊥平面SBD.
(2)M,N分別為線段SB,CD上的點,是否存在M,N,使MN⊥CD且MN⊥SB,若存在,確定M,N的位置;若不存在,說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O為AC與BD的交點，E為PB上任意一點．

(1)證明：平面EAC⊥平面PBD；
(2)若PD∥平面EAC，并且二面角B-AE-C的大小為45°，求PD∶AD的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F(xiàn)為PC的中點，AF⊥PB.

(1)求PA的長；
(2)求二面角B-AF-D的正弦值．

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