Question

【題目】已知點(diǎn)、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點(diǎn)，且，圓的方程是.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；

（3）過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線交雙曲線于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，求證：

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1），根據(jù)可得，利用雙曲線的定義可得從而得到雙曲線的方程.

（2）設(shè)點(diǎn)，利用漸近線的斜率可以得到夾角的余弦為，利用點(diǎn)在雙曲線上又可得為定值，故可得的值.

（3）設(shè)，切線的方程為:，證明等價(jià)于證明，也就是證明 ，聯(lián)立切線方程和雙曲線方程，消元后利用韋達(dá)定理可以證明.

(1)設(shè)的坐標(biāo)分別為,

因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,所以,即,所以，

在中, ,,所以，

由雙曲線的定義可知: ，

故雙曲線的方程為: .

(2)由條件可知:兩條漸近線分別為；.

設(shè)雙曲線上的點(diǎn),

設(shè)的傾斜角為，則，又 ，所以，

故，

所以的夾角為，且.

點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為，.

因?yàn)?/span>在雙曲線上,所以 ，

所以.

(3)由題意,即證: ,設(shè),

切線的方程為: .

時(shí),切線的方程代入雙曲線中,化簡(jiǎn)得:

(，

所以，.

又，

所以.

時(shí),易知上述結(jié)論也成立.所以.

綜上, ,所以.