Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，，是過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交軸于點(diǎn)，交圓于、兩點(diǎn)．

（1）若，求直線的方程；

（2）若是使恒成立的最小正整數(shù).

①求的值；

②求三角形的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

(1)確定出圓的圓心坐標(biāo)，然后考慮直線的斜率是否存在，斜率存在時(shí)利用半弦長(zhǎng)、半徑、圓心到直線的距離構(gòu)造成的直角三角形求解出直線的方程，注意驗(yàn)證是否符合；

(2) ①根據(jù)得到的軌跡應(yīng)該滿足的條件，再將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離問(wèn)題完成求解；

②考慮分類討論直線的斜率存在與否，并計(jì)算或表示出對(duì)應(yīng)的面積，從而確定出面積的最小值.

（1）由題意可知，圓的直徑為，

所以圓方程為：．

因?yàn)?/span>，所以到直線的距離為.

若斜率不存在，則到直線的距離為2，不符合，所以斜率存在；

設(shè)方程為：，則，解得，，

當(dāng)時(shí)，直線與軸無(wú)交點(diǎn)，不符合，舍去．

所以，此時(shí)直線的方程為．

（2）①設(shè)，由點(diǎn)在線段上，得，即．

由，得．

依題意知，線段與圓至多有一個(gè)公共點(diǎn)，

故，解得或．

因?yàn)?/span>是使恒成立的最小正整數(shù)，所以．

②，圓方程為：，

（i）當(dāng)直線：時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，；

（ii）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為：，

則的方程為：，點(diǎn)．所以，．

又圓心到的距離為，

所以，．

故，取等號(hào)時(shí).

又因?yàn)?/span>，所以三角形面積的最小值為.