Question

如圖是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量（單位：噸）的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中x的值．
（Ⅱ）若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用水量在3至4噸的居民數X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是頻率分布直方圖、離散型隨機變量及其分布列和數學期望．
（1）根據頻率分布直方圖中，各組的頻率之和為1，我們易得到一個關于x的方程，解方程即可得到答案．
（2）由頻率分布直方圖中月均用水量各組的頻率，我們易得X～B（3，0.1）．然后將數據代入后，可分別算出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，代入即可得到隨機變量X的分布列，然后代入數學期望公式，可進而求出數學期望．
解答：解：（Ⅰ）依題意及頻率分布直方圖知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1，解得x=0.12．
（Ⅱ）由題意知，X～B（3，0.1）．
因此P（X=0）=C₃×0.9³=0.729，
P（X=1）=C₃¹×0.1×0.9²=0.243，
P（X=2）=C₃²×0.1²×0.9=0.027，
P（X=3）=C₃³×0.1³=0.001．
故隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.729	0.243	0.027	0.001

X的數學期望為EX=3×0.1=0.3．
點評：根據新高考服務于新教材的原則，作為新教材的新增內容--頻率分布直方圖是新高考的重要考點，同時（2）中概隨機變量的分布列、數學期望的計算也是高考的熱點．對于“頻率分布直方圖學習的關鍵是學會畫圖、看圖和用圖，對于概率要多練習使用列舉法表示滿足條件的基本事件個數．對于數學期望的計算則要熟練掌握運算方法和步驟．