【題目】已知函數(shù)f(x)= ax2﹣(a﹣1)x﹣lnx(a∈R且a≠0).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)記函數(shù)y=F(x)的圖象為曲線C.設(shè)點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2)是曲線C上的不同兩點(diǎn).如果在曲線C上存在點(diǎn)M(x0 , y0),使得:①x0= ;②曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB,則稱函數(shù)F(x)存在“中值和諧切線”.當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)是否存在“中值和諧切線”,請說明理由.

【答案】
(1)解:(1)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),

由已知得,f′(x)=

(i)當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)>0,解得x>1; 令f′(x)<0,解得0<x<1.

所以函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;

(ii)當(dāng)a<0時(shí),

①當(dāng)﹣ <1時(shí),即a<﹣1時(shí),令f′(x)>0,解得:﹣ <x<1;

∴函數(shù)f(x)在(﹣ ,1)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)﹣ =1時(shí),即a=﹣1時(shí),顯然,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,無增區(qū)間;

③當(dāng)﹣ >1時(shí),即﹣1<a<0時(shí),令f′(x)>0,解得1<x<﹣

∴函數(shù)f(x)在(1,﹣ )上單調(diào)遞增;

綜上所述,(i)當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;

(ii)當(dāng)a<﹣1時(shí),函數(shù)f(x)在(﹣ ,1)上單調(diào)遞增;

(iii)當(dāng)a=﹣1時(shí),函數(shù)f(x)無單調(diào)遞增區(qū)間;

(iv)當(dāng)﹣1<a<0時(shí),函數(shù)f(x)在(1,﹣ )上單調(diào)遞增;


(2)假設(shè)函數(shù)f(x)存在“中值相依切線”.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是曲線y=f(x)上的不同兩點(diǎn),且0<x1<x2,

則y1= ﹣x1﹣lnx1,y2= ﹣x2﹣lnx2

kAB= =x2+x1﹣1﹣ ,

曲線在點(diǎn)M(x0,y0)處的切線斜率:

k=f′(x0)=f′( )=x1+x2﹣1﹣ ,

x2+x1﹣1﹣ =x1+x2﹣1﹣

= ,即ln =0,

令t= >1

設(shè)h(t)=lnt﹣ ,則h′(t)= >0,

∴h(t)在(0,+∞)遞增,

∴h(t)>h(1)=0,

故h(t)=0在(0,+∞)無解,假設(shè)不成立,

綜上所述,假設(shè)不成立,

所以,函數(shù)f(x)不存在“中值相依切線”


【解析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求得函數(shù)的定義域,再根據(jù)f(x)的解析式求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),然后分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集即可得到相應(yīng)的x的范圍即分別為函數(shù)的遞增和遞減區(qū)間;(2)假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),使得AB存在“中值相依切線”,根據(jù)斜率公式求出直線AB的斜率,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線AB的斜率,它們相等,再通過構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可證明結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣2x2﹣4x.
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣1,4]上的最大值和最小值.

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【題目】某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量1,2,3,…,2424個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生.

()分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出的值為的概率 (=1,2,3);

()甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解,各自編寫程序重復(fù)運(yùn)行n次后,統(tǒng)計(jì)記錄了輸出的值為 (=1,2,3)的頻數(shù).以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù).

甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)

運(yùn)行

次數(shù)n

輸出y的值

1的頻數(shù)

輸出y的值

2的頻數(shù)

輸出y的值

3的頻數(shù)

30

14

6

10

2 100

1 027

376

697

乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)

運(yùn)行

次數(shù)n

輸出y的值

1的頻數(shù)

輸出y的值

2的頻數(shù)

輸出y的值

3的頻數(shù)

30

12

11

7

2 100

1 051

696

353

當(dāng)n=2100時(shí),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫出甲、乙所編程序各自輸出的值為 (=1,2,3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示),并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大.

()將按程序框圖正確編寫的程序運(yùn)行3,求輸出的值為2的次數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】盒子中有大小相同的球6個(gè),其中標(biāo)號(hào)為1的球2個(gè),標(biāo)號(hào)為2的球3個(gè).標(biāo)號(hào)為3的球1個(gè),第一次從盒子中任取1個(gè)球,放回后第二次再任取1個(gè)球 (假設(shè)取到每個(gè)球的可能性都相同).記第一次與第二次取到球的標(biāo)號(hào)之和為ξ.
(1)求隨機(jī)變量ξ的分布列:
(2)求隨機(jī)變量ξ的期望Eξ.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

Ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間(其中)上存在極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Ⅱ)如果當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Ⅲ)求證

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在某大學(xué)自主招生考試中,所有選報(bào)Ⅱ類志向的考生全部參加了數(shù)學(xué)與邏輯閱讀與表達(dá)兩個(gè)科目的考試,成績分為 , , 五個(gè)等級(jí).某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)如下圖所示,其中數(shù)學(xué)與邏輯科目的成績?yōu)?/span>的考生有人.

Ⅰ)求該考場考生中閱讀與表達(dá)科目中成績?yōu)?/span>的人數(shù).

Ⅱ)若等級(jí) , , 分別對(duì)應(yīng)分, 分, 分, 分, 分.

。┣笤摽紙隹忌數(shù)學(xué)與邏輯科目的平均分.

ⅱ)若該考場共有人得分大于分,其中有分, 分, 分.

從這人中隨機(jī)抽取兩人,求兩人成績之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.

科目:數(shù)學(xué)與邏輯

科目:閱讀與表達(dá)

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【題目】設(shè)A,B為相互獨(dú)立事件,下列命題中正確的是(
A.A與B是對(duì)立事件
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【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率為,分別是橢圓的上、下頂點(diǎn),.

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