Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，點M到點F₁(-

3

，0)、F₂(

3

，0)的距離之和是4，點M的軌跡是C，直線l：y=kx+

2

與軌跡C交于不同的兩點P和Q．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)k，使以線段PQ為直徑的圓過原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接結(jié)合條件利用定義得M的軌跡C是長軸長為4，焦點在x軸上焦距為2

3

的橢圓，即可求軌跡C的方程；
（Ⅱ）先把直線方程與曲線方程聯(lián)立，得到關(guān)于點P和Q坐標(biāo)之間的等式，再代入以線段PQ為直徑的圓過原點O的等價結(jié)論x₁x₂+y₁y₂=0即可求出k的值．

解答：解：（1）∵點M到(-

3

，0)，(

3

，0)的距離之和是4，
∴M的軌跡C是長軸長為4，焦點在x軸上焦距為2

3

的橢圓，
其方程為

x2

4

+y2=1．（4分）
（2）將y=kx+

2

，代入曲線C的方程，整理得(1+4k2)x2+8

2

kx+4=0．①（6分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由方程①，得x1+x2=-

8 2 k

1+4k2

，x1x2=

4

1+4k2

．②（8分）
又y1•y2=(kx1+

2

)(kx2+

2

)=k2x1x2+

2

k(x1+x2)+2．③（9分）
若以PQ為直徑的圓過原點，則

OP

•

OQ

=0，所以x₁x₂+y₁y₂=0，（10分）
將②、③代入上式，解得k=±

6

2

．（12分）
又因k的取值應(yīng)滿足△＞0，即4k²-1＞0（*），將k=±

6

2

代入（*）式知符合題意．（13分）

點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及軌跡方程的求法．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，能力要求高，還涉及到函數(shù)，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想，因此，這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點和重點．