【題目】四棱錐A-BCDE中,底面BCDE為矩形,側(cè)面ABC⊥底面BCDE,側(cè)面ABE⊥底面BCDE,BC=2,CD=4。
(I)證明:AB⊥面BCDE;
(II)若AD=2,求二面角C-AD-E的正弦值。
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)推導(dǎo)出BE⊥BC,從而BE⊥平面ABC,進而BE⊥AB,由面ABE⊥面BCDE,得AB⊥BC,由此能證明AB⊥面BCDE.
(Ⅱ)以B為原點,所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角C﹣AD﹣E的正弦值.
由側(cè)面底面,且交線為,底面為矩形
所以平面,又平面,所以
由面面,同理可證,又面
在底面中,,
由面 ,故,
以為原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
設(shè)平面的法向量,則,取
所以平面的法向量,同理可求得平面的法向量.
設(shè)二面角的平面角為,則
故所求二面角的正弦值為.
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【題目】已知點,求:
(1)過點與原點距離為2的直線的方程;
(2)過點與原點距離最大的直線的方程,最大距離是多少?
(3)是否存在過點與原點距離為6的直線?若存在,求出方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】橢圓的左、右焦點分別為、,離心率為,過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.
Ⅰ求橢圓C的方程;
Ⅱ點為橢圓C上一動點,連接,,設(shè)的角平分線PM交橢圓C的長軸于點,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】記為數(shù)列的前項和.“任意正整數(shù),均有”是“為遞增數(shù)列”的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
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【題目】中國高鐵的快速發(fā)展給群眾出行帶來巨大便利,極大促進了區(qū)域經(jīng)濟社會發(fā)展.已知某條高鐵線路通車后,發(fā)車時間間隔(單位:分鐘)滿足,,經(jīng)測算,高鐵的載客量與發(fā)車時間間隔相關(guān):當(dāng)時高鐵為滿載狀態(tài),載客量為1000人;當(dāng)時,載客量會在滿載基礎(chǔ)上減少,減少的人數(shù)與成正比,且發(fā)車時間間隔為5分鐘時的載客量為100人.記發(fā)車間隔為分鐘時,高鐵載客量為.
(1)求的表達式;
(2)若該線路發(fā)車時間間隔為分鐘時的凈收益(元),當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時,單位時間的凈收益最大?
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【題目】(本小題滿分14分)已知過原點的動直線與圓 相交于不同的兩點,.
(1)求圓的圓心坐標(biāo);
(2)求線段的中點的軌跡的方程;
(3)是否存在實數(shù),使得直線 與曲線只有一個交點?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】設(shè)四點均在雙曲線的右支上.
(1)若(實數(shù)),證明:(O是坐標(biāo)原點);
(2)若,P是線段AB的中點,過點P分別作該雙曲線的兩條漸近線的垂線,垂足為M、N,求四邊形的面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|.
(1)若不等式f(x)≥|2x+1|1的解集為A,且,求實數(shù)t的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,若,證明:f(ab)>f(a)f(b).
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