Question

已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（2，0）的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于2．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l與軌跡C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為軌跡C上一點(diǎn)，若向量

OM

=

OA

+λ

OB

，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（2，0）的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于2，可得P到F的距離等于P到直線x=-2的距離，從而擴(kuò)大圓心P的軌跡為以F（2，0）為焦點(diǎn)的拋物線，即可求得軌跡C的方程；
（Ⅱ）求出直線，代入拋物線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量條件，可得M的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)M為軌跡C上一點(diǎn)，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（2，0）的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于2，
∴P到F的距離等于P到直線x=-2的距離
∴圓心P的軌跡為以F（2，0）為焦點(diǎn)的拋物線
∴軌跡C的方程為y²=8x；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），則直線l的方程為y=

3

（x-2）
代入y²=8x得：3x²-20x+12=0
∴x₁=

2

3

，x₂=6
∴y₁=-

4 3

3

，y₂=4

3

∵

OM

=

OA

+λ

OB

，
∴x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂，
∴x=

2

3

+6λ，y=-

4 3

3

+4

3

λ
∵點(diǎn)M為軌跡C上一點(diǎn)，∴y²=8x，
∴（-

4 3

3

+4

3

λ）²=8（

2

3

+6λ）
∴3λ²-5λ=0
∴λ=

5

3

或0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．