Question

【題目】設(shè)和是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若直線和直線的斜率都存在且分別為和，求證：；

（2）若雙曲線的焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，求由四點(diǎn)、、、所圍成四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）法一：設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用中點(diǎn)坐標(biāo)表示，再求；法二：利用點(diǎn)差法表示；

（2）先由已知求得雙曲線方程和直線的方程，由條件表示四邊形的面積；令解，利用的中點(diǎn)是，直接求點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示四邊形的面積.

（1）證明：法1：設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為，代入雙曲線方程得：．

設(shè)坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，

，，所以，，．

法2：設(shè)、，中點(diǎn)，則，且，

（1）﹣（2）得：．

因?yàn)�，直線和直線的斜率都存在，所以，

等式兩邊同除以，得：，即．

（2）由已知得，求得雙曲線方程為，直線斜率為，

直線方程為，代入雙曲線方程可解得，中點(diǎn)坐標(biāo)為．

面積．

另解：線段中點(diǎn)在直線上．所以由中點(diǎn)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程可得，即，解得（），所以．面積．