【題目】已知若干個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其棱長(zhǎng)均為不大于正奇數(shù)的正整數(shù)（允許三棱長(zhǎng)相同），且盒壁厚度忽略不計(jì)，每個(gè)盒子的三組對(duì)面分別染為紅、藍(lán)、黃三色，若沒(méi)有一個(gè)盒子能以同色面平行的方式裝入另一個(gè)盒子中，則稱這些盒子是“和諧的”，求最多有多少個(gè)和諧盒子？

【答案】

【解析】

設(shè)和諧盒子最多有個(gè)，在空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)面，，分別染為紅、藍(lán)、黃三色，將上述盒子放入坐標(biāo)系中，使其共頂點(diǎn)的三面分別放入同色的坐標(biāo)面中，則每個(gè)盒子與一個(gè)整數(shù)有序數(shù)組一一對(duì)應(yīng)，其中，、、、，、、.從而，和諧盒子集合對(duì)應(yīng)一個(gè)空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集，，滿足對(duì)于任意中的兩點(diǎn)，，有， ①其中，.

設(shè)，其中，，令，.顯然，中任意兩點(diǎn)至多有一個(gè)分量相同，即，且對(duì)任意，，有. ②

將中各元按分量的大小排序，記為，其中，.由式①知.故，如圖，在坐標(biāo)平面內(nèi)記，，其中，，，，.從而，式②等價(jià)于. ③

對(duì)于，若，則將所有中的點(diǎn)并入中，將新集合記為，則仍滿足式③，對(duì)繼續(xù)上述調(diào)整，直至，此時(shí)，仍記為，將各點(diǎn)依次連成一條折線，則所有組成中互不相交條折線，故 ，當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立.

綜上，和諧盒子至多有個(gè).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市教學(xué)研究室為了對(duì)今后所出試題的難度有更好的把握，提高命題質(zhì)量，對(duì)該市高三理科數(shù)學(xué)試卷的得分情況進(jìn)行了調(diào)研．從全市參加考試的理科考生中隨機(jī)抽取了100名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分），將數(shù)據(jù)分成9組：，，，，，，，，，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．用統(tǒng)計(jì)的方法得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率估計(jì)值．

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，求抽取的100名理科考生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分及眾數(shù)；

（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率，從該市所有高三理科考生的數(shù)學(xué)成績(jī)中隨機(jī)抽取3個(gè)，記理科數(shù)學(xué)成績(jī)位于區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）從該市高三理科數(shù)學(xué)考試成績(jī)中任意抽取一份，記其成績(jī)?yōu)?/span>，依據(jù)以下不等式評(píng)判（表示對(duì)應(yīng)事件的概率）：

①，②，

③，其中．

評(píng)判規(guī)則：若至少滿足以上兩個(gè)不等式，則給予這套試卷好評(píng)，否則差評(píng)．試問(wèn)：這套試卷得到好評(píng)還是差評(píng)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱臺(tái)中，底面，四邊形為菱形，，.

（1）若為中點(diǎn)，求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．將曲線上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的兩倍（縱坐標(biāo)不變）得到曲線．

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)，若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為鼓勵(lì)應(yīng)屆畢業(yè)大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，國(guó)家對(duì)應(yīng)屆畢業(yè)大學(xué)生創(chuàng)業(yè)貸款有貼息優(yōu)惠政策，現(xiàn)有應(yīng)屆畢業(yè)大學(xué)生甲貸款開(kāi)小型超市，初期投入為72萬(wàn)元，經(jīng)營(yíng)后每年的總收入為50萬(wàn)元，該公司第年需要付出的超市維護(hù)和工人工資等費(fèi)用為萬(wàn)元，已知為等差數(shù)列，相關(guān)信息如圖所示.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）該超市第幾年開(kāi)始盈利？（即總收入減去成本及所有費(fèi)用之差為正值）

（Ⅲ）該超市經(jīng)營(yíng)多少年，其年平均獲利最大？最大值是多少？（年平均獲利）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】考慮的方格表，其中每個(gè)方格內(nèi)均填有數(shù)字0．每次操作可先選定三個(gè)實(shí)數(shù)、、，然后選定一行，將這一行每個(gè)方格中的數(shù)都加上（為該方格所在的列數(shù)，）；或選定一列，將這一列每個(gè)方格中的數(shù)都加上（為該方格所在的行數(shù)，），問(wèn)：能否經(jīng)過(guò)有限次操作，使該方格表中四個(gè)角的數(shù)字變成1，而其他格的數(shù)字仍為0？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將方格表的每個(gè)方格任意填入或，然后允許進(jìn)行如下操作：每次任意選擇一行（或列），將這一行（或列）中的數(shù)全部變號(hào).若無(wú)論開(kāi)始時(shí)方格表的數(shù)怎樣填，總能經(jīng)過(guò)不超過(guò)次操作，使得方格表每一行中所有數(shù)的和、每一列中所有數(shù)的和均非負(fù).試確定的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為抗擊新冠病毒，某部門(mén)安排甲、乙、丙、丁、戊五名專家到三地指導(dǎo)防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名專家，其中甲、乙兩名專家必須安排在同一地工作，丙、丁兩名專家不能安排在同一地工作，則不同的分配方法總數(shù)為（ ）

A.18B.24C.30D.36

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