Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一動(dòng)點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的最短距離為

2

-1，且右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離等于短半軸的長(zhǎng)．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 過(guò)點(diǎn)M（0，-

1

3

）的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無(wú)論l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)橢圓的焦距為2c，則由題設(shè)得關(guān)于a，b．c的方程，解此方程組得a=

2

，b=1．最后寫(xiě)出橢圓C的方程即可；
（Ⅱ）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在點(diǎn)T（u，v）．若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx-

1

3

，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求得點(diǎn)T的坐標(biāo)，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為2c，
則由題設(shè)可知

a-c= 2 -1 a2 c -c=b

，
解此方程組得a=

2

，b=1．
所以橢圓C的方程是

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)T（u，v）．若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx-

1

3

，
將它代入橢圓方程，并整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9 .

…（7分）
因?yàn)?span id="womuaev" class="MathJye">

TA

=(x1-u，y1-v)， 

TB

=(x2-u，y2-v)及y1=kx1-

1

3

，y2=kx2-

1

3

，
所以

TA

•

TB

=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)=(k2+1)x1x2-(u+

1

3

k+kv)(x1+x2)+u2+v2+

2v

3

+

1

9

=

(6u2+6v2-6)k2-4ku+(3u2+3v2+2v-5)

6k2+3

…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)

TA

•

TB

=0恒成立時(shí)，以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T，
所以

6u2+18v2-18=0 u=0 3u2+3v2+2v-5=0.

解得u=0，v=1．
此時(shí)以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T（0，1）．…（12分）
當(dāng)直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為x²+y²=1也過(guò)點(diǎn)T（0，1）．
綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1），滿足條件．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．