【題目】如圖所示,半圓弧所在平面與平面垂直,且是上異于,的點,,,.
(1)求證:平面;
(2)若為的中點,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)取的中點為,連接,利用勾股定理,證得,在利用面面垂直的性質(zhì),證得平面,最后利用線面垂直的判定定理,即可證得平面;
(2)以為坐標原點,分別以為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系,求得平面和平面的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.
(1)取的中點為,連接,
因為,所以,又,所以四邊形為平行四邊形,
又,,所以為正方形,不妨設(shè),
則,,,
所以,即,
又平面平面,平面平面,所以平面,
又平面,所以,
因為是半圓弧上異于,的點,所以,又,
所以平面;
(2)取的中點為,連接,,則,所以,
當(dāng)為的中點時,有,則,
因為平面平面,平面平面,所以平面,
以為坐標原點,分別以為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
由(1)知,,,,,
,, ,
設(shè)是平面的一個法向量,則,即,
令,則,,,
設(shè)是平面的一個法向量,則,即,
令,則,,,
所以,
由圖可知所求二面角為鈍角,
所以二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)()的檢測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計如下:
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴重污染 |
天數(shù) | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 10 |
(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于,的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;
(2)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為,試估計該企業(yè)一個月(按30天計算)的經(jīng)濟損失的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,且曲線與恰有一個公共點.
(Ⅰ)求曲線的極坐標方程;
(Ⅱ)已知曲線上兩點,滿足,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(k+)lnx+,k∈[4,+∞),曲線y=f(x)上總存在兩點M(x1,y1),N(x2,y2),使曲線y=f(x)在M,N兩點處的切線互相平行,則x1+x2的取值范圍為
A. (,+∞) B. (,+∞) C. [,+∞) D. [,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線,過拋物線上點B作切線交y軸于點
(Ⅰ)求拋物線方程和切點的坐標;
(Ⅱ)過點作拋物線的割線,在第一象限內(nèi)的交點記為,,設(shè)為y軸上一點,滿足,為中點,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正四面體的表面積為,為棱的中點,球為該正四面體的外接球,則過點的平面被球所截得的截面面積的最小值為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(k+)lnx+,k∈[4,+∞),曲線y=f(x)上總存在兩點M(x1,y1),N(x2,y2),使曲線y=f(x)在M,N兩點處的切線互相平行,則x1+x2的取值范圍為
A. (,+∞) B. (,+∞) C. [,+∞) D. [,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為實常數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),不等式的解集為,不等式的解集為,當(dāng)時,是否存在正整數(shù),使得或成立.若存在,試找出所有的m;若不存在,請說明理由.
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