【題目】如圖所示,半圓弧所在平面與平面垂直,且上異于,的點,,.

(1)求證:平面

(2)若的中點,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

1)取的中點為,連接,利用勾股定理,證得,在利用面面垂直的性質(zhì),證得平面,最后利用線面垂直的判定定理,即可證得平面;

2)以為坐標原點,分別以軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系,求得平面和平面的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.

(1)取的中點為,連接

因為,所以,又,所以四邊形為平行四邊形,

,所以為正方形,不妨設(shè)

,,,

所以,即

又平面平面,平面平面,所以平面

平面,所以,

因為是半圓弧上異于,的點,所以,又,

所以平面;

(2)取的中點為,連接,,則,所以,

當(dāng)的中點時,有,則,

因為平面平面,平面平面,所以平面

為坐標原點,分別以軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

由(1)知,,,,,

,, ,

設(shè)是平面的一個法向量,則,即,

,則,,

設(shè)是平面的一個法向量,則,即,

,則,,,

所以,

由圖可知所求二面角為鈍角,

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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空氣質(zhì)量

優(yōu)

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

天數(shù)

6

14

18

27

25

10

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