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【題目】

已知橢圓的右焦點為,橢圓與雙曲線兩條漸近線的四個交點為頂點的四邊形的面積為

(1)求橢圓的方程;

(2)若點為橢圓上的兩點(不同時在軸上),點,證明:存在實數,當三點共線時,為常數.

【答案】見解析

【解析】

(1)雙曲線漸近線方程為

設直線與橢圓在第一象限的交點為,

代入橢圓的方程,可得,

易得橢圓與雙曲線兩條漸近線的四個交點為頂點的四邊形的面積為,(2分)

所以,所以,即,

因為,所以,

,解得負值舍去),所以,

所以橢圓的方程為.(5分)

(2)因為三點共線,且不同時在軸上,所以直線的斜率不為,

,代入橢圓方程消去,得

,則.(6分)

.(7分)

,

所以

.(10分)

只要,上式即為,與無關.(11分)

,解得,此時

即存在實數,當三點共線時,為常數

練習冊系列答案
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