【題目】如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點(diǎn)．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，E為BD的中點(diǎn)．
（1）求證：BM⊥平面ADM；
（2）求直線AE與平面ADM所成角的正弦值．

【答案】
（1）解：△ABM中，AB=2， ，∴AM⊥BM，

又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，且BM平面ABCM，

∴BM⊥平面ADM


（2）解：如圖，以M點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，MA所在直線為x軸，MB所在直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則M（0，0，0）， ， ， ，

∵E為BD中點(diǎn)，∴ ， ，

由（1）知， 為平面ADM的一個(gè)法向量，

，

，

∴直線AE與平面ADM所成角的正弦值為


【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；（2）求出平面ADM的一個(gè)法向量，求出 ， 的余弦值，從而求出直線AE與平面ADM所成角的正弦值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（12分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點(diǎn).

（1）證明：直線 平面PAB

（2）點(diǎn)M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成銳角為 ，求二面角M-AB-D的余弦值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) （其中a為非零實(shí)數(shù)），且方程 有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】拖延癥總是表現(xiàn)在各種小事上，但日積月累，特別影響個(gè)人發(fā)展．某校的一個(gè)社會(huì)實(shí)踐調(diào)查小組，在對(duì)該校學(xué)生進(jìn)行“是否有明顯拖延癥”的調(diào)查中，隨機(jī)發(fā)放了110份問(wèn)卷．對(duì)收回的100份有效問(wèn)卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表：

有明顯拖延癥

無(wú)明顯拖延癥

合計(jì)

男

35

25

60

女

30

10

40

合計(jì)

65

35

100

（Ⅰ）按女生是否有明顯拖延癥進(jìn)行分層，已經(jīng)從40份女生問(wèn)卷中抽取了8份問(wèn)卷，現(xiàn)從這8份問(wèn)卷中再隨機(jī)抽取3份，并記其中無(wú)明顯拖延癥的問(wèn)卷的份數(shù)為，試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為無(wú)明顯拖延癥與性別有關(guān)，那么根據(jù)臨界值表，最精確的的值應(yīng)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．

附：獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中．

獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表：

0．25

0．15

0．10

0．05

0．025

1．323

2．072

2．706

3．841

5．024

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)）.

(I)寫出直線的一般方程與曲線的直角坐標(biāo)方程，并判斷它們的位置關(guān)系；

(II)將曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線，設(shè)曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線，設(shè)曲線上任一點(diǎn)為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程并證明；

②求證：線段的長(zhǎng)為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】北京、張家港2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估．該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷售8萬(wàn)件．
（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？
（2）為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到x元．公司擬投入 萬(wàn)作為技改費(fèi)用，投入（50+2x）萬(wàn)元作為宣傳費(fèi)用．試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在等差數(shù)列{an} 中，已知公差 ，且a1+a3+a5+…+a99=60，則a1+a2+a3+…+a100= ．

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【題目】平面內(nèi)給定三個(gè)向量 =（3，2）， =（﹣1，2）， =（4，1）．回答下列問(wèn)題：
（1）若（ +k ）∥（2 ﹣ ），求實(shí)數(shù)k；
（2）設(shè) =（x，y）滿足（ ﹣ ）∥（ + ）且| ﹣ |=1，求 ．

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