Question

7．如圖所示，四邊形OABP是平行四邊形，過點P的直線與射線OA，OB分別相交于點M，N，若$\overrightarrow{OM}$=x$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=y$\overrightarrow{OB}$．
（1）把y用x表示出來（即求y=f（x）的解析式）；
（2）設數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n滿足S_n=f（S_n-1）（n≥2且n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{OM}{PB}=\frac{ON}{BN}$得出方程得出f（x）；
（2）對S_n=f（S_n-1）=$\frac{{S}_{n-1}}{1+{S}_{n-1}}$取倒數(shù)，即可得出{$\frac{1}{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列，從而求出S_n，再利用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OM}$=x$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=y$\overrightarrow{OB}$，
∴$\frac{ON}{BN}$=x，$\frac{ON}{OB}=y$，∴$\frac{ON}{BN}=\frac{y}{1-y}$，
∵△OMN∽△BPN，
∴$\frac{OM}{PB}=\frac{ON}{BN}$，
∴$\frac{y}{1-y}=x$，
∴y=f（x）=$\frac{x}{1+x}$．
（2）S_n=f（S_n-1）=$\frac{{S}_{n-1}}{1+{S}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1+{S}_{n-1}}{{S}_{n-1}}$，∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1，
∵S₁=a₁=1，∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=n，即S_n=$\frac{1}{n}$，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n-1}$=$\frac{1}{n-{n}^{2}}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{n-{n}^{2}}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查向量知識的運用，考查向量共線的條件，考查等差數(shù)列的證明，考查求數(shù)列的通項，屬于中檔題．