已知函數(shù)f（x）=x|x-a|（x∈R）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）求實數(shù)a的取值范圍，使函數(shù)g（x）=f（x）+2x+1在R上恒為增函數(shù)．
（1）當(dāng)a=0時，f（x）=x|x|，定義域為R，
又f（-x）=（-x）|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．…（3分）
當(dāng)a≠0時，f（a）=0，f（-a）=-a|a|，∵f（-a）≠±f（a），
∴f（x）是非奇非偶函數(shù)．…（6分）
∴當(dāng)a=0時，f（x）為奇函數(shù)；當(dāng)a≠0時，f（x）為非奇非偶函數(shù)．…（7分）
（2）g(x)=x|x-a|+2x+1=
x2+(2-a)x+1，x≥a
-x2+(2+a)x+1，x＜a
在R上恒為增函數(shù)，…（8分）
∴y=x2+（2-a）x+1在[a，+∞）上是增函數(shù)，且y=-x2+（2+a）x+1在（-∞，a]上是增函數(shù)，…（10分）
∴
-
2-a
2
≤a
2+a
2
≥a
，…（14分）
∴-2≤a≤2．…（15分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)f（x）=2x+2-x的圖象關(guān)于（　　）對稱．
A．坐標(biāo)原點(diǎn)B．直線y=xC．x軸D．y軸

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
a•2x+a-1
2x+1
．
（1）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（2）在（1）的條件下，解關(guān)于x的不等式f[loga（x+1）]+f[loga（
1
3x-5
）]＞0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=|x+1|的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則f（x）=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若函數(shù)f（x）=1+
m
ex-1
是奇函數(shù)，則m的值為（　�。�
A．0B．
1
2
C．1D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

定義在R上的偶函數(shù)y=f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當(dāng)x∈（0，1]時單調(diào)遞增，則（　�。�
A．f(
1
3
)＜f(-5)＜f(
5
2
)		B．f(
1
3
)＜f(
5
2
)＜f(-5)
C．f(
5
2
)＜f(
1
3
)＜f(-5)		D．f(-5)＜f(
1
3
)＜f(
5
2
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知最小正周期為2的函數(shù)y=f（x），當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=x2，則函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象與y=|log5x|的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)f(x)=
-1
x
+x的圖象關(guān)于（　�。�
A．y軸對稱B．直線y=-x對稱
C．坐標(biāo)原點(diǎn)對稱D．直線y=x對稱

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且x＞0時，f（x）=2x+1，則x＜0時f（x）等于（　　）
A．2x-1B．2-x+1C．-2x+1D．-2-x+1

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