（1）選修4-4：矩陣與變換
已知曲線C1：y=
1
x
繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后可得到曲線C2：y2-x2=2，
（I）求由曲線C1變換到曲線C2對應(yīng)的矩陣M1；    
（II）若矩陣M2=
20
03
，求曲線C1依次經(jīng)過矩陣M1，M2對應(yīng)的變換T1，T2變換后得到的曲線方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l的極坐標(biāo)方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，在曲線C：
x=-1+cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）上求一點(diǎn)，使它到直線l的距離最小，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)和最小距離．
（3）（選修4-5：不等式選講）
將12cm長的細(xì)鐵線截成三條長度分別為a、b、c的線段，
（I）求以a、b、c為長、寬、高的長方體的體積的最大值；
（II）若這三條線段分別圍成三個(gè)正三角形，求這三個(gè)正三角形面積和的最小值．
分析：（1）（I）因?yàn)榘亚�C1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，得到曲線C2，則旋轉(zhuǎn)變換矩陣為M1=
cos45°-sin45°
sin45°cos45°
．
（II）先求出依次經(jīng)過矩陣M1，M2對應(yīng)的變換T1，T2對應(yīng)的矩陣，再設(shè)曲線C1上任一點(diǎn)經(jīng)過變換后的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，用變換后的坐標(biāo)表示變換前的坐標(biāo)，再代入變換前曲線滿足的方程，化簡即得變換后的曲線方程．
（2）先由直線l的極坐標(biāo)方程求出直角坐標(biāo)方程，設(shè)出曲線C上任意一點(diǎn)P坐標(biāo)，用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)P到直線l的距離，再借助基本正弦函數(shù)的最值求出點(diǎn)P到直線l的最小距離．
（3）（I）因?yàn)殚L方體的體積為abc，而a+b+c=12，應(yīng)用不等式abc≤(
a+b+c
3
)3，就可求出體積的最大值．
（II）先把三個(gè)正三角形的面積和用S=
3
4
(l2+m2+n2)表示，因?yàn)閘+m+n=4，而（l2+m2+n2）（12+12+12）≥（l+m+n）2，所以只需讓S乘3再除3即可變形成公式的形式，求出最值．
解答：解：（1）（I）∵曲線C1：y=
1
x
繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到曲線C2：y2-x2=2，∴旋轉(zhuǎn)變換矩陣M1=
cos45° -sin45°
sin45°cos45°
=
2
2
-
2
2
2
2
2
2
；
（II）設(shè)依次經(jīng)過矩陣M1，M2對應(yīng)的變換T1，T2對應(yīng)的矩陣M=M2M1=
20
03
•
2
2
-
2
2
2
2
2
2
=
2
-
2
3
2
2
3
2
2

任取曲線C1：y=
1
x
上的一點(diǎn)P（x，y），它在變換TM作用下變成點(diǎn)P′（x′，y′），則有
x′
y′
=M
x
y
，即
x′=
2
x-
2
y
y′=
3
2
2
x+
3
2
2
y
，∴
x=
3x′+2y′
6
2
y=
2y′-3x′
6
2

又因?yàn)辄c(diǎn)P在C1：y=
1
x
上，得到
y′
18
2-
x′
8
2=1即
y
18
2-
x
8
2=1．
（2）∵直線l的極坐標(biāo)方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0，∴直角坐標(biāo)方程是x+y-1=0
設(shè)所求的點(diǎn)為P（-1+cosθ，sinθ），則P到直線l的距離d=
|-1+cosθ+sinθ-1|
2
=|sin(θ+
π
4
)-
2
|
當(dāng)θ+
π
4
=2kπ+
π
2
，k∈Z時(shí)，即θ=2kπ+
π
4
，k∈Z，d的最小值為
2
-1此時(shí)P(-1+
2
2
，
2
2
)
（3）（I）由已知得，a+b+c=12，∴V=abc≤(
a+b+c
3
)3=64；
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=4時(shí)，等號成立．
（II）設(shè)三個(gè)正三角形的邊長分別為l，m，n，則l+m+n=4
∴這三個(gè)正三角形面積和為S=
3
4
(l2+m2+n2)
∴3S=
3
4
(l2+m2+n2)(12+12+12)≥
3
4
(l+m+n)2=4
3

∴S≥
4
3
3

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)，等號成立．
點(diǎn)評：本題（1）主要考查了曲線的旋轉(zhuǎn)變換矩陣的求法以及根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換求曲線方程，（2）考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互換，（3）考查了均值不等式和柯西不等式的應(yīng)用．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江蘇省丹陽市08-09學(xué)年高二下學(xué)期期末測試（理） 題型：解答題

 （本題是選做題，滿分28分，請?jiān)谙旅嫠膫�(gè)題目中選兩個(gè)作答，每小題14分，多做按前兩題給分）

A．(選修4-1：幾何證明選講)

如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，若PE＝PA，，PD＝1，BD＝8，求線段BC的長.

 

 

 

 

 

 

B．(選修4-2：矩陣與變換)

在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，矩陣陣，，求在矩陣作用下變換所得到的圖形的面積.

C．(選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)

直線(為參數(shù)，為常數(shù)且)被以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，方程為的曲線所截，求截得的弦長.

D．(選修4-5：不等式選講)

設(shè)，求證：.

 

 

 

 

 

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