Question

【題目】已知數(shù)列{an}，a1=a（a∈R），an+1= （n∈N*）．
（1）若數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)都大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=﹣3，記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，證明：Sn＜n+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)都大于1，可得

當(dāng)n≥2時(shí)，an+1= =2﹣ ＞2﹣ =1，

所以只需a2= ＞1，解得a＞1或a＜﹣2

（2）證明：由（1）可得，當(dāng)n≥2時(shí)，an+1﹣1= ﹣1

= ＜ = （an﹣1），

即有當(dāng)n≥4時(shí)，an﹣1＜（a3﹣1）（ ）n﹣3，

即有an＜1+（a3﹣1）（ ）n﹣3=1+ （ ）n﹣3，

此時(shí)Sn＜﹣3+5+（1+ ）+[1+ （ ）]+…+[1+ （ ）n﹣3]

=n+ =n+ [1﹣（ ）n﹣2]＜n+ ，

易證，當(dāng)n=1，2，3，Sn＜n+ 成立．

綜上可得，對(duì)任意的正整數(shù)n，均有Sn＜n+

【解析】（1）由題意可得當(dāng)n≥2時(shí)，an+1= =2﹣ ＞2﹣ =1，所以只需a2= ＞1，解不等式即可得到所求范圍；（2）求得當(dāng)n≥4時(shí)，an﹣1＜（a3﹣1）（ ）n﹣3 ， 即有an＜1+（a3﹣1）（ ）n﹣3=1+ （ ）n﹣3 ， 運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)，可得Sn＜n+ ；再驗(yàn)證n=1，2，3也成立．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．