Question

【題目】已知數(shù)列{an}，{bn}分別滿足a1=1，|an+1﹣an|=2，且 |=2，其中n∈N* ， 設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn ， Tn ．
（1）若數(shù)列{an}，{bn}都是遞增數(shù)列，求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{cn}滿足：存在唯一的正整數(shù)k（k≥2），使得ck＜ck﹣1 ， 則稱數(shù)列{cn}為“k墜點(diǎn)數(shù)列”． ①若數(shù)列{an}為“5墜點(diǎn)數(shù)列”，求Sn；
②若數(shù)列{an}為“p墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列{bn}為“q墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)m使得Sm+1=Tm？若存在，求出m的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數(shù)列{an}，{bn}都為遞增數(shù)列，

∴由遞推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1=2，bn+2=2bn+1，n∈N*，

則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}從第二項(xiàng)起構(gòu)成等比數(shù)列．

∴an=2n﹣1，bn=

（2）解：①∵數(shù)列{an}滿足：存在唯一的正整數(shù)k=5，使得ak＜ak﹣1，且|an+1﹣an|=2，

∴數(shù)列{an}必為1，3，5，7，5，7，9，11，…，

即前4項(xiàng)為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，從第5項(xiàng)開始為首項(xiàng)5，公差為2的等差數(shù)列，

故Sn= ；

②∵| |=2，即bn+1=±2bn，

∴|bn|=2n﹣1，

而數(shù)列{bn}為“q墜點(diǎn)數(shù)列”且b1=﹣1，

∴數(shù)列{bn}中有且只有兩個(gè)負(fù)項(xiàng)．

假設(shè)存在正整數(shù)m，使得Sm+1=Tm，顯然m≠1，且Tm為奇數(shù)，

而{an}中各項(xiàng)均為奇數(shù)，

∴m必為偶數(shù)．

由Sm+1≤1+3+…+（2m+1）=（m+1）2，

當(dāng)q＞m時(shí)，Tm=﹣1+2+4+…+2m﹣2+2m﹣1=2m﹣3，

當(dāng)m≥6時(shí)，2m﹣3＞（m+1）2，故不存在正整數(shù)m使得Sm+1=Tm；

當(dāng)q=m時(shí)，Tm=﹣1+21+…+2m﹣2+（﹣2m﹣1）=﹣3＜0，

顯然不存在正整數(shù)m使得Sm+1=Tm；

當(dāng)q＜m時(shí)，∴（Tm）min=﹣1+21+…+2m﹣3+（﹣2m﹣2）+2m﹣1=2m﹣1﹣3．

當(dāng)2m﹣1﹣3＜（m+1）2，才存在正整數(shù)m使得Sm+1=Tm；

即m≤6．

當(dāng)m=6時(shí)，q＜6，

構(gòu)造：{an}為1，3，1，3，5，7，9，…，{bn}為﹣1，2，4，8，﹣16，32，64，…

此時(shí)p=3，q=5．

∴mmax=6，對(duì)應(yīng)的p=3，q=5

【解析】（1）由兩數(shù)列為遞增數(shù)列，結(jié)合遞推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*，由此可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}從第二項(xiàng)起構(gòu)成等比數(shù)列，然后利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案；（2）①根據(jù)題目條件判斷：數(shù)列{an}必為1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4項(xiàng)為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，從第5項(xiàng)開始為首項(xiàng)5，公差為2的等差數(shù)列，求解Sn即可．②運(yùn)用數(shù)列{bn}為“墜點(diǎn)數(shù)列”且b1=﹣1，綜合判斷數(shù)列{bn}中有且只有兩個(gè)負(fù)項(xiàng)．假設(shè)存在正整數(shù)m，使得Sm+1=Tm，顯然m≠1，且Tm為奇數(shù)，而{an}中各項(xiàng)均為奇數(shù)，可得m必為偶數(shù)．再討論q＞m，q=m，q＜m，證明m≤6，求出數(shù)列即可．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．