Question

圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P（如圖），雙曲線過點(diǎn)P且離心率為.
（1）求的方程；
（2）橢圓過點(diǎn)P且與有相同的焦點(diǎn)，直線過的右焦點(diǎn)且與交于A，B兩點(diǎn)，若以線段AB為直徑的圓心過點(diǎn)P，求的方程.

Answer 1

（1）；（2） ，或..

試題分析：（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，切線方程為，即，此時(shí)，兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為.由知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最大值，即S有最小值，因此點(diǎn)P得坐標(biāo)為 ，由題意知解得，即可求出的方程；（2） 由（1）知的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由此的方程為，其中.
由在上，得，顯然，l不是直線y=0.設(shè)l的方程為x=my+，點(diǎn)由 得，因由題意知，所以 ，將韋達(dá)定理得到的結(jié)果代入式整理得，解得或，即可求出直線l的方程.
（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，切線方程為，即，此時(shí)，兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為.由知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最大值，即S有最小值，因此點(diǎn)P得坐標(biāo)為 ，
由題意知
解得，故方程為.
（2）由（1）知的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由此的方程為，其中.
由在上，得，
顯然，l不是直線y=0.設(shè)l的方程為x=my+，點(diǎn)
由 得，又是方程的根，因此 ，由得
因由題意知，所以 ，將①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直線l的方程為，或.