Question

已知：圓C過定點(diǎn)A(0，p)，圓心C在拋物線x²=2py上運(yùn)動(dòng)，若MN為圓C在X軸上截和的弦，設(shè)|AM|=m，|AN|=n，∠MAN=α,

(1).當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否變化？寫出并證明你的結(jié)論；

(2).求的最大值，并求取得這個(gè)最大值時(shí)α的值和此時(shí)圓C的方程。

 

           

Answer 1

(1)解法一：過C作CH⊥x軸于H

設(shè)C(x₀,)

∴MN=2MH=.

解法二：由題意得：⊙C的方程(x-x₀)²+(y-y₀)²=x₀²+(y₀-1)².

把y=0和x₀²=2py₀代入整理得x²-2x₀x+x₀²+x_p²=0. 解之得方程的兩根分為

x₁=x₀-p，x₂=x₀+p.   ∴ |MN|=|x₁-x₂|=2P.

∴點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|不會(huì)變化，|MN|=2P(定值)

(2)設(shè)∠MAN=

∵|OA||MN|=p²，∴

∵，     ∴.

∴.

∵只有當(dāng)C在O點(diǎn)處時(shí)，為直徑上圓周角，其他時(shí)候都是劣弧上的圓周角.

∴，

故當(dāng)時(shí)，原式有最大值.

∵∠MAN=，∴∠MCN=2∠MAN=∴y₀=P，x₀=，r=.

所求圓的方程為