【題目】在直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C1上的點(diǎn)均在C2:(x﹣5)2+y2=9外,且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M,M到直線x=﹣2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值.
(1)求曲線C1的方程
(2)設(shè)P(x0 , y0)(y0≠±3)為圓C2外一點(diǎn),過P作圓C2的兩條切線,分別于曲線C1相交于點(diǎn)A,B和C,D.證明:當(dāng)P在直線x=﹣4上運(yùn)動(dòng)時(shí),四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值.
【答案】
(1)
解:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),由已知得|x+2|= 且圓C2上的點(diǎn)位于直線x=﹣2的右側(cè)
∴ =x+5
化簡(jiǎn)得曲線C1的方程為y2=20x
(2)
證明:當(dāng)點(diǎn)P在直線x=﹣4上運(yùn)動(dòng)時(shí),P的坐標(biāo)為(﹣4,y0),
∵y0≠±3,∴過P且與圓C2相切的直線的斜率k存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),切線方程為
y﹣y0=k(x+4),即kx﹣y+y0+4k=0,
∴ ,整理得 ①
設(shè)過P所作的兩條切線PA,PC的斜率分別為k1,k2,則k1,k2是方程①的兩個(gè)實(shí)根
∴ ②
由 ,消元可得 ③
設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,y3,y4,
∴y1,y2是方程③的兩個(gè)實(shí)根
∴ ④
同理可得 ⑤
由①②④⑤可得 = =6400
∴當(dāng)P在直線x=﹣4上運(yùn)動(dòng)時(shí),四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值為6400.
【解析】(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)對(duì)C1上任意一點(diǎn)M,M到直線x=﹣2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值,可得|x+2|= 且圓C2上的點(diǎn)位于直線x=﹣2的右側(cè),從而可得曲線C1的方程;(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線x=﹣4上運(yùn)動(dòng)時(shí),P的坐標(biāo)為(﹣4,y0),設(shè)切線方程為kx﹣y+y0+4k=0,利用直線與圓相切可得 ,從而可得過P所作的兩條切線PA,PC的斜率k1 , k2是方程的兩個(gè)實(shí)根,設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為y1 , y2 , y3 , y4 , 從而可得 ;同理可得 ,由此可得當(dāng)P在直線x=﹣4上運(yùn)動(dòng)時(shí),四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值為6400.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=﹣ n2+kn(其中k∈N+),且Sn的最大值為8.
(1)確定常數(shù)k,求an;
(2)求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
(1)[選修4﹣1:幾何證明選講]
如圖,AB是圓O的直徑,D,E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C,使BD=DC,連接AC,AE,DE.
求證:∠E=∠C.
(2)[選修4﹣2:矩陣與變換]
已知矩陣A的逆矩陣 ,求矩陣A的特征值.
(3)[選修4﹣4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在極坐標(biāo)中,已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P( , ),圓心為直線ρsin(θ﹣ )=﹣ 與極軸的交點(diǎn),求圓C的極坐標(biāo)方程.
(4)[選修4﹣5:不等式選講]
已知實(shí)數(shù)x,y滿足:|x+y|< ,|2x﹣y|< ,求證:|y|< .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(﹣1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是( 。
A.(0,1)B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為 ,過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),與交于兩點(diǎn)
(1) 求的直角坐標(biāo)方程和的普通方程;
(2) 若,,成等比數(shù)列,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,則_____.
【答案】
【解析】
分子分母同時(shí)除以,把目標(biāo)式轉(zhuǎn)為的表達(dá)式,代入可求.
,則
故答案為:.
【點(diǎn)睛】
本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,常用方法:(1)弦切互化法:主要利用公式, 形如等類型可進(jìn)行弦化切;(2)“1”的靈活代換和的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化.
【題型】填空題
【結(jié)束】
15
【題目】如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,為中點(diǎn),連接,則異面直線和所成角的余弦值為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】北京某附屬中學(xué)為了改善學(xué)生的住宿條件,決定在學(xué)校附近修建學(xué)生宿舍,學(xué)?倓(wù)辦公室用1000萬元從政府購(gòu)得一塊廉價(jià)土地,該土地可以建造每層1000平方米的樓房,樓房的每平方米建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān),樓房每升高一層,整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高0.02萬元,已知建筑第5層樓房時(shí),每平方米建筑費(fèi)用為0.8萬元.
(1)若學(xué)生宿舍建筑為層樓時(shí),該樓房綜合費(fèi)用為萬元,綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購(gòu)地費(fèi)用之和),寫出的表達(dá)式;
(2)為了使該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低,學(xué)校應(yīng)把樓層建成幾層?此時(shí)平均綜合費(fèi)用為每平方米多少萬元?
【答案】(1);(2)學(xué)校應(yīng)把樓層建成層,此時(shí)平均綜合費(fèi)用為每平方米萬元
【解析】
由已知求出第層樓房每平方米建筑費(fèi)用為萬元,得到第層樓房建筑費(fèi)用,由樓房每升高一層,整層樓建筑費(fèi)用提高萬元,然后利用等差數(shù)列前項(xiàng)和求建筑層樓時(shí)的綜合費(fèi)用;
設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為,則,然后利用基本不等式求最值.
解:由建筑第5層樓房時(shí),每平方米建筑費(fèi)用為萬元,
且樓房每升高一層,整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高萬元,
可得建筑第1層樓房每平方米建筑費(fèi)用為:萬元.
建筑第1層樓房建筑費(fèi)用為:萬元.
樓房每升高一層,整層樓建筑費(fèi)用提高:萬元.
建筑第x層樓時(shí),該樓房綜合費(fèi)用為:.
;
設(shè)該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為,
則:,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),上式等號(hào)成立.
學(xué)校應(yīng)把樓層建成10層,此時(shí)平均綜合費(fèi)用為每平方米萬元.
【點(diǎn)睛】
本題考查簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想方法,訓(xùn)練了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法,訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,是中檔題.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】已知.
(1)求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸方程;
(2)若,求的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字.
(1)用所給數(shù)字能夠組成多少個(gè)四位數(shù)?
(2)用所給數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?
(3)用所給數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字且比3142大的數(shù)?(最后結(jié)果均用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐P - ABCD的底面為直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC
(1)證明平面PAD⊥平面PCD;
(2)求AC與PB所成角的余弦值;
(3)求平面AMC與平面BMC所成二面角的余弦值.
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