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已知A、B、C是直線l上的不同三點，O是l外一點，向量
OA
，
OB
，
OC
滿足
OA
=(
3
2
x2+1)
OB
-(lnx-y)
OC
，記y=f（x）；
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）求函數y=f（x）的單調區(qū)間．
分析：（1）直接利用結論：A、B、C是直線l上的不同三點，則
OA
=λ
OB
+(1-λ)
OC
，得(
3
2
x2+1)+(lnx-y)=1，整理即可求出函數y=f（x）的解析式；
（2）先求出其導函數．利用導函數與原函數單調性的關系來求單調區(qū)間即可．（注意是在定義域內）．
解答：解：（1）∵
OA
=(
3
2
x2+1)
OB
-(lnx-y)
OC
，且A、B、C是直線l上的不同三點，
∴(
3
2
x2+1)-(lnx-y)=1，∴y=
3
2
x2-lnx；（6分）
（2）∵f(x)=
3
2
x2-lnx，
∴f′(x)=3x-
1
x
=
3x2-1
x
，（8分）
∵f(x)=
3
2
x2-lnx的定義域為（0，+∞），而f′(x)=
3x2-1
x
＞0，可得x＞
3
3

∴y=f（x）在（
3
3
，+∞）上為增函數，在（0，
3
3
）是減函數，即y=f（x）的單調增區(qū)間為（0，+∞），單調遞減區(qū)間是（0，
3
3
）．（12分）
點評：本題主要考查向量在幾何中的應用以及利用導函數研究原函數的單調性，是對向量向量知識和函數知識的綜合考查屬于中檔題目．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

6、已知a、b、c是直線，α是平面，給出下列命題：
①若a∥b，b⊥c，則a⊥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；
③若a∥α，b?α，則a∥b；④若a⊥α，b?α，則a⊥b；
⑤若a與b異面，則至多有一條直線與a、b都垂直．
其中真命題是
①④
．（把符合條件的序號都填上）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B、C是直線l上不同的三點，O是l外一點，向量
OA
，
OB
，
OC
滿足：
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
．記y=f（x）．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式：
（Ⅱ）若對任意x∈[
1
6
，
1
3
]，不等式|a-lnx|-ln[f'（x）-3x]＞0恒成立，求實數a的取值范圍：
（Ⅲ）若關于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a、b、c是直線，β是平面，給出下列命題：
①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；
②若a∥b，b⊥c，則a⊥c；
③若a∥β，a?α，α∩β=b則a‖b；
④若a與b異面，且a∥β，則b與β相交；
其中真命題的序號是
②③
②③
．（要求寫出所有真命題的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B、C是直線l上的不同的三點，O是外一點，則向量
OA
、
OB
、
OC
滿足：
OA
=λ
OB
+μ
OC
，其中λ+μ=1．
（1）若A、B、C三點共線且有
OA
-(3x+1)•
OB
-(
3
2+3x
-y)•
OC
=
0
成立．記y=f（x），求函數y=f（x）的解析式；
（2）若對任意x∈[
1
6
，
1
3
]，不等式|a-lnx|-ln[f（x）-3x]＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

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