(本小題滿分15分)已知點(diǎn),一動圓過點(diǎn)且與圓內(nèi)切.
(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),點(diǎn)為曲線上任一點(diǎn),求點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值;
(Ⅲ)在的條件下,設(shè)△的面積為是坐標(biāo)原點(diǎn),是曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)),以為邊長的正方形的面積為.若正數(shù)滿足,問是否存在最小值,若存在,請求出此最小值,若不存在,請說明理由.
(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)存在最小值
解:(Ⅰ)設(shè)圓心坐標(biāo)為,則動圓的半徑為,
又動圓與內(nèi)切,所以有化簡得
所以動圓圓心軌跡C的方程為. ………………………………4分
(Ⅱ)設(shè),則
,令,,所以,
當(dāng),即上是減函數(shù),;
當(dāng),即時,上是增函數(shù),在上是減函數(shù),則;
當(dāng),即時,上是增函數(shù),
所以, .…………………………………………9分
(Ⅲ)當(dāng)時,,于是,,
若正數(shù)滿足條件,則,即,
,令,設(shè),則,,
于是,
所以,當(dāng),即時,,
.所以,存在最小值.………………………………14分
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