在平面上有如下命題“0為直線AB外的一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)x，y滿足
OP
=x•
OA
+y•
OB
，且x+y=1”，類(lèi)比此命題，給出在空間中相應(yīng)的一個(gè)正確命題是什么？
分析：將命題從平面類(lèi)比到空間：直線類(lèi)比到平面、三點(diǎn)共線類(lèi)比到四點(diǎn)共面、未知數(shù)從2個(gè)類(lèi)比到3個(gè)．由此得到命題：0為平面ABC外的一點(diǎn)，則點(diǎn)P在平面ABC上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)x、y、z，滿足
OP
=x•
OA
+y•
OB
+z
OC
，且x+y+z=1．再利用向量共線定理加以正反論證，可得本題答案．
解答：解：由平面內(nèi)的定理，類(lèi)比到空間可得：
0為平面ABC外的一點(diǎn)，則點(diǎn)P在平面ABC上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)x、y、z，
滿足
OP
=x•
OA
+y•
OB
+z
OC
，且x+y+z=1．該命題是一個(gè)真命題，證明如下：
①當(dāng)實(shí)數(shù)x、y、z，滿足
OP
=x•
OA
+y•
OB
+z
OC
且x+y+z=1時(shí)，
（x+y+z）
OP
=x•
OA
+y•
OB
+z
OC
，化簡(jiǎn)得x
AP
=y
PB
+z
CP

∴向量
AP
、
PB
、
CP
共面的向量，可得點(diǎn)P在平面ABC上，故充分性成立；
②當(dāng)點(diǎn)P在平面ABC上時(shí)，存在實(shí)數(shù)λ、μ，使
PA
=λ
PB
+μ
PC
，
即
OA
-
OP
=λ（
OB
-
OP
）+μ（
OC
-
OP
），化簡(jiǎn)得
OP
=-
1
λ+μ-1
OA
+
λ
λ+μ-1
OB
+
μ
λ+μ-1
OC
，
因此，存在x=-
1
λ+μ-1
、y=
λ
λ+μ-1
、z=
μ
λ+μ-1
，
滿足
OP
=x•
OA
+y•
OB
+z
OC
，且x+y+z=1．故必要性成立．
∴將題中的命題類(lèi)比到空間，可得在空間中相應(yīng)的一個(gè)正確命題為：0為平面ABC外的一點(diǎn)，則點(diǎn)P在平面ABC上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)x、y、z，滿足
OP
=x•
OA
+y•
OB
+z
OC
，且x+y+z=1．
點(diǎn)評(píng)：本題將平面內(nèi)的三點(diǎn)共線的一個(gè)命題類(lèi)比到空間，并加以證明，著重考查了類(lèi)比推理的一般方法和平面向量的基本定理及其意義等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

14、四面體ABCD中，有如下命題：①若AC⊥BD，AB⊥CD則AD⊥BC；②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點(diǎn)，則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大��；③若點(diǎn)O是四面體ABCD外接球的球心，則O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；④若四個(gè)面是全等的三角形，則四面體ABCD是正四面體．其中正確命題的序號(hào)是
①③
（填上所有正確命題的序號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面上有如下命題“0為直線AB外的一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)x，y滿足
op
=x•
OA
+y•
OB
，且x+y=1”，類(lèi)比此命題，給出在空間中相應(yīng)的一個(gè)正確命題是
O為平面ABC外一點(diǎn)，則點(diǎn)P在平面ABC上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)x，y，z滿足
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1．
O為平面ABC外一點(diǎn)，則點(diǎn)P在平面ABC上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)x，y，z滿足
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1．
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：永州一模 題型：填空題

四面體ABCD中，有如下命題：
①若AC⊥BD，AB⊥CD則AD⊥BC；
②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點(diǎn)，則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大��；
③若點(diǎn)O是四面體ABCD外接球的球心，則O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；
④若四個(gè)面是全等的三角形，則四面體ABCD是正四面體．
其中正確命題的序號(hào)是______（填上所有正確命題的序號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

在平面上有如下命題“0為直線AB外的一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)x，y滿足
op
=x•
OA
+y•
OB
，且x+y=1”，類(lèi)比此命題，給出在空間中相應(yīng)的一個(gè)正確命題是______．

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