Question

【題目】如圖所示，太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚.太極圖展現(xiàn)了一種相互轉化，相對統(tǒng)一的和諧美.定義：能夠將圓的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓的一個“太極函數(shù)”.現(xiàn)有下列說法：①對于圓：的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)；②函數(shù)是圓：的一個太極函數(shù)；③存在圓，使得是圓的一個太極函數(shù)；④直線所對應的函數(shù)一定是圓：（）的太極函數(shù)；⑤若函數(shù)（）是圓：的太極函數(shù)，則.其中正確的是__________.

Answer 1

【答案】②④⑤

【解析】

利用新定義逐個判斷函數(shù)是否滿足新定義即可．

對①顯然錯誤，如圖

對②，點均為兩曲線的對稱中心，且能把圓一分為二，正

對③，

函數(shù)為奇函數(shù)，當時，，

當時，，，函數(shù)遞減；

當時，，

當時，，，

函數(shù)關于中心對稱，有三條漸近線，，

可知，函數(shù)的對稱中心為間斷點，故不存在圓使得滿足題干條件．

對于④，直線恒過定點，滿足題意．

對于⑤函數(shù)為奇函數(shù)，與圓的交點恒坐標為，

，

，

令，得，即，得即；

對，當時顯然無解，△即時也無解，即時兩曲線僅有兩個交點，函數(shù)能把圓一分為二，且周長和面積均等分，如圖所示：

若時，函數(shù)圖象與圓有4個交點，若時，函數(shù)圖象與圓有6個交點，均不能把圓一分為二，如圖所示：

故所有正確的是②④⑤.

故答案為：②④⑤