Question

【題目】已知函數(shù)，m∈R

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若m∈（-1，0），證明：對(duì)任意的x1，x2∈[1，1-m]，4f（x1）+x2＜5．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

（2）將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)g（x）=-x+，則不等式轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題進(jìn)行求解即可．

解：（1）

①當(dāng)1＞1-m，即m＞0時(shí)，（-∞，1-m）和（1，+∞）上f′（x）＜0，f（x）單調(diào)減；（1-m，1）上f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增

②當(dāng)1=1-m，即m=0時(shí)，（-∞，+∞）上f′（x）＜0，f（x）單調(diào)減

③當(dāng)1＜1-m，即m＜0時(shí)，（-∞，1）和（1-m，+∞）上f′（x）＜0，f（x）單調(diào)減；（1，1-m）上f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增

（2）對(duì)任意的x1，x2∈[1，1-m]，4f（x1）+x2＜5可轉(zhuǎn)化為，

設(shè)g（x）=-x+，則問(wèn)題等價(jià)于x1，x2∈[1，1-m]，f（x）max＜g（x）min

由（1）知，當(dāng)m∈（-1，0）時(shí)，f（x）在[1，1-m]上單調(diào)遞增，，

g（x）在[1，1-m]上單調(diào)遞減，，

即證，化簡(jiǎn)得4（2-m）＜e1-m[5-（1-m）]

令1-m=t，t∈（1，2）

設(shè)h（t）=et（5-t）-4（t+1），t∈（1，2），

h′（t）=et（4-t）-4＞2et-4＞0，故h（t）在（1，2）上單調(diào)遞增．

∴h（t）＞h（1）=4e-8＞0，即4（2-m）＜e1-m[5-（1-m）]

故，得證．