Question

在三棱錐P-ABC中，三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直，H是△ABC的垂心
求證：（1）PH⊥底面ABC   （2）△ABC是銳角三角形．

Answer 1

分析：對于問題（1），由三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直可以得到PA⊥面PBC，進而得到PA⊥BC，由H是△ABC的垂心，得到BC⊥AE，從而得到PH⊥BC，同理可證PH⊥AC，從而得到證明；對于問題（2）可以通過余弦定理解決．

解答：證明：（1）連接AH并延長交BC于一點E，連接PH，由于PA，PB，PC兩兩垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC?面PBC，∴BC⊥PA，又H是三角形ABC的垂心，故AE⊥BC，又AE∩PA=A，∴BC⊥面PAE，而PH?面PAE，∴PH⊥BC，同理可以證明PH⊥AC，又AC∩BC=C，∴PH⊥底面ABC．  
（2）設PA=a；PB=b；PC=c，則AB²=a²+b²，同理BC²=c²+b²，Ac²=a²+c²，在三角形ABC中，由余弦定理得：cosA=

AB 2+AC 2-BC 2

2AB×AC

=

a 2+b 2+a 2+c 2-c 2-b 2

2 a 2+b 2 a 2+c 2

=

a 2

a 2+b 2 a 2+c 2

＞0，同理可證cosB＞0，cosC＞0，所以，）△ABC是銳角三角形．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明法：利用判定定理證明；以及解三角形的有關理論，第二問在立體幾何中考查平面幾何問題，要注意在空間的某個平面內，平面幾何的有關定理、公式等結論仍然成立．