Question

已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，當(dāng)n
（I）當(dāng)a=200時(shí)，填寫下列表格；

N	2	3	51	200
an

（II）當(dāng)a=200時(shí)，求數(shù)列{a_n}的前200項(xiàng)的和S₂₀₀；
（III）令b，T_n=b₁+b₂…+b_n求證：當(dāng)1時(shí)，T．

Answer 1

【答案】分析：（I）當(dāng)a=200時(shí)，利用遞推式，即可得到相應(yīng)結(jié)論；
（II）當(dāng)a=200時(shí)，由題意知{a_n}數(shù)列的前50項(xiàng)成首項(xiàng)為200，公差為-4的等差數(shù)列，從第51項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為1，偶數(shù)項(xiàng)均為4，分組求和，即可求數(shù)列{a_n}的前200項(xiàng)的和S₂₀₀；
（III）確定數(shù)列的通項(xiàng)，分類討論，分組求和，即可證得結(jié)論．
解答：（I）解：由題意，

n	2	3	51	200
an	196	192	1	4

…（4分）
（II）解：當(dāng)a=200時(shí)，由題意知{a_n}數(shù)列的前50項(xiàng)成首項(xiàng)為200，公差為-4的等差數(shù)列，從第51項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為1，偶數(shù)項(xiàng)均為4．
從而S₂₀₀=+==5475．…（6分）
（III）證明：當(dāng)1時(shí)，因?yàn)閍_n=，
所以=                 …（8分）
當(dāng)n為偶數(shù)2k時(shí)，T_n=b₁+b₂+…+b_2k=-+-+…+=-（++…+）+（+…+）
=+=
因?yàn)?，所以，…（10分）
當(dāng)n為奇數(shù)2k-1時(shí)，T_n=b₁+b₂+…+b_2k-1=-+-+…+-＜-（++…+）+（+…+）

綜上：．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查不等式的證明，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度較大．