平面直角坐標(biāo)系有點(diǎn)P(1,cosx),Q(cosx,1),x∈[-
π
4
π
4
];
(1)求向量
OP
OQ
的夾角θ的余弦用x表示的函數(shù)f(x);
(2)求cosθ的最值.
分析:(1)由已知可求
OP 
,
OQ
,代入cosθ=
OP
OQ
|
OP
||
OQ
|
即可求解
(2)由(1)可求f(x)=cosθ=
OP
OQ
|
OP
||
OQ
|
,由x的范圍可求cosθ的范圍,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求cosθ的最小值
解答:解:(1)∵P(1,cosx),Q(cosx,1),
OP 
=(1,cosx),
OQ
=(cosx,1)
OP
OQ
=2cosx,|
OP
||
OQ
|=1+cos2x
cosθ=
OP
OQ
|
OP
||
OQ
|
=
2cosx
1+cos2x
=f(x) 
(2)f(x)=cosθ=
OP
OQ
|
OP
||
OQ
|
=
2cosx
1+cos2x
=
2
cosx+
1
cosx
且x∈[-
π
4
,
π
4
]
∴cosθ∈[
2
2
,1]
 
令g(x)=x+
1
x

設(shè)x1,x2∈[
2
2
,1]
,且x1<x2
g(x)=1-
1
x2
<0在[
2
2
,1
]上恒成立(此處也可以利用單調(diào)性的定義判斷)
∴g(x)=x+
1
x
在[
2
2
,1
]上是減函數(shù).
2≤cosx+
1
cosx
3
2
2

2
2
3
≤f(x)≤1
 即
2
2
3
≤cosθ≤1
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了向量的數(shù)量積的性質(zhì)的坐標(biāo)表示,向量與 三角函數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)的綜合應(yīng)用.
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π
4
,
π
4
];
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OP
OQ
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