Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=

2

，E為PD上一點，PE=2ED．
（1）求證：PA⊥平面ABCD．
（2）求二面角D-AC-E的正切值．
（3）在側(cè)棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC，若存在，指出F點位置，并證明，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意及圖形利用線面垂直的判定定理即可得證；
（2）由于PA⊥平面ABCD，點E在PD線上，所過E作EG∥PA交AD于G，從而EG⊥平面ABCD，再利用三垂線定理或即可作出二面角的平面角；
（3）因為PA，AB，AD兩兩垂直，所以可以建立空間直角坐標系，假設PC存在一點，F(xiàn)使得BF∥平面AEC，利用方程的思想求解即可．

解答：（1）證明：∵PA=AD=1，PD=

2

∴PA²+AD²=PD²即PA⊥AD
又∵PA⊥CD．AD∩CD=D
∴PA⊥平面ABCD
（2）解：過E作EG∥PA交AD于G，從而EG⊥平面ABCD′且AG=2GD．EG=

1

3

，PA=

1

3

．連接BD交AC于O，過G作GH∥OD交AC于H．
連接EH．∵GH⊥AC∴EH⊥AC
∴∠EHG為二面角D-AC-E的平面角．
∵HG=

2

3

OD=

2

3

．
∴tan∠EHG=

EG

GH

=

2

2

．
（3）解：因為PA，AB，AD兩兩垂直，所以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標系．
則A（0，0，0）B（1，0，0）C（1，1，0）P（0，0，1）E（0，

2

3

，  

1

3

）

AC

=(1，1，0)   

AE

=(0，

2

3

  

1

3

)
設平面AEC的法向量

n

=(x，y，z)，則

n

=

n • AC =0 n • AE =0

即

x+y=0 2y+z=0

令y=1，則

n

=(-1，1，-2)
假設PC存在一點F且

CF

=λ

CP

（0≤λ≤1），使得BF∥平面AEC則

BF

•

n

=0．
又∵

BF

=

BC

+

CF

=（0，1，0）+（-λ，-λ，λ）=（-λ，1-λ，λ）
∴

BF

•

n

=λ+1-λ-2λ=0∴λ=

1

2

∴存在P的中點F，使得BF∥平面AEC．

點評：（1）此問重點考查了利用計算證明線線垂直，還考查了線面垂直的判定定理的準確使用；
（2）此問重點考查了利用三垂線定理求其二面角的平面角，并考查了求角的大小放到三角形中進行求解；
（3）此問重點考查了利用空間向量的方法及假設存在于方程的思想進行求解的方法．