Question

如圖是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三視圖，正（主）視圖和俯視圖都是矩形，側(cè)（左）視圖為等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB₁∥平面BDC₁；
（2）設(shè)AB₁垂直于BC₁，且BC=2，求點(diǎn)C到平面DBC₁的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用線線平行證明線面平行即可；
（2）先作出直線AB₁在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影，利用平面幾何知識求出BB₁的長，再利用三棱錐的換底性，用等體積法求解即可．
解答：解：（1）證明：幾何體的直觀圖，如圖，

連接BC₁和B₁C，交點(diǎn)為O，則O為B₁C的中點(diǎn)，連接OD，
∵D為中點(diǎn)，∴OD∥AB₁，
又AB₁?平面BDC₁，OD?平面ABC₁，
∴AB₁∥平面BDC₁．
（2）過D作DG⊥BC，垂足為G，連接GO，
∵側(cè)面垂直于底面，∴DG⊥側(cè)面BCC₁B₁，
∴OD在側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)的射影為GO，
∵BC=2，△ABC為等邊三角形，∴DG=，
連接B₁F，則B₁F為AB₁在側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)的射影，
∵AB₁⊥BC₁，由三垂線逆定理得B₁F⊥BC₁，如圖：
設(shè)BB₁=x，∵∠FB₁B=∠BC₁B₁，∴，∴BB₁=，
=，
∵BD=，DC₁=，BC₁=，∴BD⊥DC₁，
∴=
用等體積法．

點(diǎn)評：本題考查線面平行的判定，點(diǎn)到平面距離的求法．等體積法求點(diǎn)到面的距離的常用方法．