Question

（本小題滿(mǎn)分12分，（1）小問(wèn)4分，（2）小問(wèn)8分）已知為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，分別為其左右焦點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且不垂直于軸，的周長(zhǎng)為，且橢圓的短軸長(zhǎng)為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)為橢圓的左端點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)．求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

（1）；（2）證明詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）結(jié)合圖形及橢圓的定義先得到的周長(zhǎng)為，進(jìn)而根據(jù)條件列出方程組，從中求解即可得出的值，進(jìn)而可寫(xiě)出橢圓的方程；（2）由（1）確定，進(jìn)而設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，解出點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)，可得，進(jìn)而根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)得出，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入并化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，，然后寫(xiě)出直線(xiàn)的方程并化簡(jiǎn)得到，從該直線(xiàn)方程不難得到該直線(xiàn)恒通過(guò)定點(diǎn)，問(wèn)題得證.
（1）依題意有：的周長(zhǎng)為

所以，則橢圓的方程為     4分
（2）由橢圓方程可知，點(diǎn)
設(shè)直線(xiàn)，由得，從而，，即點(diǎn) 
同理設(shè)直線(xiàn)，可得               7分
由三點(diǎn)共線(xiàn)可得，即，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)化簡(jiǎn)可得
               9分
直線(xiàn)，可得點(diǎn)，即
從而直線(xiàn)的方程為
化簡(jiǎn)得，即，
從而直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)                              12分.