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(本小題滿分13分)如圖，已知平行四邊形和矩形所在的平面互相垂直，，是線段的中點.

（1）求證：；（2）求二面角的大小；
（3）設點為一動點，若點從出發(fā)，沿棱按照
的路線運動到點，求這一過程中形成的三棱錐的體積的最小值.
(Ⅰ)見解析   (Ⅱ)   （Ⅲ）
法一：（1）易求，從而，由三垂線定理知：.
（2）法一：易求由勾股定理知，
設點在面內的射影為，過作于，連結，
則為二面角的平面角.
在中由面積法易求，由體積法求得點到面的距離是，
所以，所以求二面角的大小為.
法二：易求由勾股定理知，過作于，又過作交于，連結.則易證為二面角的平面角
.在中由面積法易求，從而于是，
所以，在中由余弦定理求得.再在中由余弦定理求得.最后在中由余弦定理求得，所以求二面角的大小為.………… 8分
（3）設AC與BD交于O，則OF//CM，所以CM//平面FBD，當P點在M或C時，三棱錐P—BFD的體積的最小.. ……………… 13分
解法二：空間向量解法，略.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

圖4，四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，

∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點．
（1）證明：EF∥面PAD；
（2）證明：面PDC⊥面PAD．
 

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知一四棱錐P－ABCD的三視圖如下，E是側棱PC上的動點。
(Ⅰ)求四棱錐P－ABCD的體積；
（Ⅱ）是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結論;

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，某建筑物的基本單元可近似地按以下方法構作：先在地平面內作菱形ABCD，邊長為1，∠BAD＝60°,再在的上方，分別以△與△為底面安裝上相同的正棱錐P－ABD與Q－CBD，∠APB＝90°．
（Ⅰ）求證：PQ⊥BD；
（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；
（Ⅲ）求點P到平面QBD的距離.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在棱長為的正方體中，為棱的中點.
(Ⅰ)求證：平面;   (Ⅱ)求與平面所成角的余弦值.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

長方體的各頂點都在球的球面上，其中．兩點的球面距離記為，兩點的球面距離記為，則的值為       ．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直四棱柱中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD,AB="4,BC=CD=2," AA="2, " E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。               
（Ⅰ）證明：直線∥平面；          
（Ⅱ）求二面角的余弦值

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知矩形ABCD，M，N分別是AD，BC的中點，且AM=AB，將矩形沿MN折成直二面角，若P點是線段DN上一動點，求P到BM距離的最小值。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

等邊ABC的A∈平面α，B、C到面α的距離分別為2a、a，且AB=BC=AC=b.
(1)求面ABC與α所成二面角的大��；
(2)若B、C到α的距離分別為3a、a呢?

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