【題目】已知數(shù)列滿足：，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）.

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析； （Ⅱ）見(jiàn)解析； （Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）由數(shù)學(xué)歸納法證得不等式；

（Ⅱ）先利用證明，得數(shù)列是遞減數(shù)列，則，進(jìn)而分析法證明原不等式，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得不等式成立；

（Ⅲ）由（Ⅱ）所證不等式取倒移項(xiàng)得數(shù)列的遞推不等式關(guān)系，利用累加法得，利用分組求和即可證得數(shù)列的前項(xiàng)和；構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性證得，即，同前面的證明過(guò)程，可證，即原不等式得證.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以命題成立；

假設(shè)時(shí)命題成立，即.則

當(dāng)時(shí)，有，所以.

故對(duì)于都有

（Ⅱ）令，即

所以在上單調(diào)遞減，則

所以，即，所以數(shù)列是遞減數(shù)列

故，因此.

要證明，即證

構(gòu)造函數(shù).

，所以在單調(diào)遞減.

故，因此.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知成立，

則由遞推關(guān)系累加法可得，故數(shù)列的前項(xiàng)和即

構(gòu)造函數(shù)

，所以在單調(diào)遞增.

故，得.

所以有，同前推理有，則同前由累加法可得，故同前分組求和的方式得.

因此得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在2016年8月巴西里約熱內(nèi)盧舉辦的第31屆奧運(yùn)會(huì)上，乒乓球比賽團(tuán)體決賽實(shí)行五場(chǎng)三勝制，且任何一方獲勝三場(chǎng)比賽即結(jié)束.甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)最終進(jìn)入決賽，根據(jù)雙方排定的出場(chǎng)順序及以往戰(zhàn)績(jī)統(tǒng)計(jì)分析，甲隊(duì)依次派出的五位選手分別戰(zhàn)勝對(duì)手的概率如下表：

出場(chǎng)順序

1號(hào)

2號(hào)

3號(hào)

4號(hào)

5號(hào)

獲勝概率

若甲隊(duì)橫掃對(duì)手獲勝（即3∶0獲勝）的概率是，比賽至少打滿4場(chǎng)的概率為.

（1）求，的值；

（2）求甲隊(duì)獲勝場(chǎng)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)定義在R上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取極大值，且函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

（1）求的表達(dá)式；

（2）試在函數(shù)的圖象上求兩點(diǎn)，使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在上；

（3）設(shè)，，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )

A. 6B. 7C. 8D. 9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將，，，，這5名同學(xué)從左至右排成一排，則與相鄰且與之間恰好有1名同學(xué)的排法有________種.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于不重合的兩個(gè)平面α與β，給定下列條件：

①存在平面γ，使得α，β都平行于γ

②存在兩條不同的直線l，m，使得lβ，mβ，使得l∥α，m∥α

③α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到β的距離相等；

④存在異面直線l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.

其中，可以判定α與β平行的條件有（ ）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒(méi)有紅球，則不獲獎(jiǎng).

（1）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；

（2）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)，.

（1）求的單調(diào)區(qū)間

（2）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在處取得極大值，求a的取值范圍．

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