Question

【題目】如圖，曲線由曲線和曲線組成，其中點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn)．

（1）若，求曲線的方程；

（2）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點(diǎn)，求證：弦的中點(diǎn)必在曲線的另一條漸近線上；

（3）對(duì)于（1）中的曲線，若直線過點(diǎn)交曲線于點(diǎn)，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）和；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）本題曲線方程的求法實(shí)質(zhì)為待定系數(shù)法，即根據(jù)條件列出兩個(gè)方程組，解出對(duì)應(yīng)參數(shù)即可（2）本題證明方法為以算代證，即先求出弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，再代入雙曲線漸近線方程進(jìn)行驗(yàn)證.先根據(jù)條件設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)），代入直線方程可得弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)），再代入雙曲線另一漸近線方程進(jìn)行驗(yàn)證.

（3）三角形的面積可轉(zhuǎn)化為等于兩個(gè)三角形面積之差，即，所以只需根據(jù)直線方程（設(shè)直線斜率）與橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出，并根據(jù)判別式大于零列出直線斜率取值范圍，最后根據(jù)基本不等式求最值.

（1）

則曲線的方程為和

（2）曲線的漸近線為 ,如圖，設(shè)直線

則

又由數(shù)形結(jié)合知

設(shè)點(diǎn)，則，

即點(diǎn) 在直線上

（3）由（1）知，曲線，點(diǎn)

設(shè)直線的方程為

設(shè)由韋達(dá)定理：

令,則

，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立

時(shí)，