Question

【題目】過(guò)圓錐軸的截面為等腰直角三角形，為底面圓周上一點(diǎn)，已知，圓錐體積為，點(diǎn)為底面圓的圓心

（1）求該圓錐的全面積

（2）求異面直線與所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）

（3）求點(diǎn)到平面的距離

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）設(shè)底面圓的半徑為,則高,利用體積公式求出,即可求出側(cè)面積,進(jìn)而求得該圓錐的全面積;

（2）連接并延長(zhǎng)交圓周于點(diǎn),再連接,則,所以四邊形是平行四邊形,,的大小為異面直線與所成角的大小;

（3）求三棱錐的體積以為頂點(diǎn),以底面,也可以為頂點(diǎn),以底面,通過(guò)等體積法求解點(diǎn)到平面的距離.

（1）設(shè)底面圓的半徑為

等腰直角,故:

根據(jù)圓錐的體積計(jì)算公式:

得:

母線的長(zhǎng)為

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,根據(jù)扇形面積公式:

圓錐的側(cè)面積為:

圓錐的全面積

（2）

如圖:連接并延長(zhǎng)交圓周于點(diǎn), 再連接

四邊形是平行四邊形,得

的大小為異面直線與所成角的大小.

由（1）知在中,,

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

為等腰三角形,故

在中有:

（3） 根據(jù)三棱錐的體積計(jì)算公式:

在中 可得:

中 故:

得:

解得:

點(diǎn)到平面的距離為:.