【題目】如圖,三棱柱中,,平面.
(1)證明:;
(2)若,,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)余弦值為.
【解析】分析: (1)先證明平面,即證.(2)先證明,,再建立空間直角坐標系,利用向量法求二面角的余弦值.
詳解:(1)證明:∵平面,∴.
∵,
∴,∴平面,∴.
(2)解:∵平面,∴,
∴四邊形為菱形,∴.
又,∴與均為正三角形.
取的中點,連接,則.
由(1)知,則可建立如圖所示的空間直角坐標系.
設(shè),則,,,,.
∴,,.
設(shè)平面的法向量為,
則,
∴∴
取,則為平面的一個法向量.
又為平面的一個法向量,
∴.
又二面角的平面角為鈍角,所以其余弦值為.
點睛:本題主要考查空間位置關(guān)系的證明和二面角的平面角的計算,主要考查學生的空間想象能力和計算能力.屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知線C的極坐標方程為:ρ=2sin(θ+),過P(0,1)的直線l的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),直線l與曲線C交于M,N兩點.
(1)求出直線l與曲線C的直角坐標方程.
(2)求|PM|2+|PN|2的值.
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【題目】如圖所示, 是邊長為3的正方形, 平面與平面所成角為.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)設(shè)點是線段上一個動點,試確定點的位置,使得平面,并證明你的結(jié)論.
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【題目】下面是一幅統(tǒng)計圖,根據(jù)此圖得到的以下說法中正確的是( )
A.這幾年生活水平逐年得到提高
B.生活費收入指數(shù)增長最快的一年是2015年
C.生活價格指數(shù)上漲速度最快的一年是2016年
D.雖然2017年的生活費收入增長緩慢,但生活價格指數(shù)略有降低,因而生活水平有較大的改善
E.2016年生活價格指數(shù)上漲的速度與2017年生活價格指數(shù)下降的速度相同
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【題目】為了調(diào)查中學生每天玩游戲的時間是否與性別有關(guān),隨機抽取了男、女學生各50人進行調(diào)查,根據(jù)其日均玩游戲的時間繪制了如下的頻率分布直方圖.
(1)求所調(diào)查學生日均玩游戲時間在分鐘的人數(shù);
(2)將日均玩游戲時間不低于60分鐘的學生稱為“游戲迷”,已知“游戲迷”中女生有6人;根據(jù)已知條件,完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“游戲迷”和性別關(guān)系;
非游戲迷 | 游戲迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | |||
合計 |
附:(其中為樣本容量).
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】某廠推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品,生產(chǎn)“玉兔”的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元,根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),總收益P(單位:元)與月產(chǎn)量x(單位:件)滿足(注:總收益=總成本+利潤)
(1)請將利潤y(單位:元)表示成關(guān)于月產(chǎn)量x(單位:件)的函數(shù);
(2)當月產(chǎn)量為多少時,利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】下表表示的是某款車的車速與剎車距離的關(guān)系,試分別就,,三種函數(shù)關(guān)系建立數(shù)學模型,并探討最佳模擬,根據(jù)最佳模擬求車速為120km/h時的剎車距離.
車速/(km/h) | 10 | 15 | 30 | 40 | 50 |
剎車距離/m | 4 | 7 | 12 | 18 | 25 |
車速/((km/h) | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
剎車距離/m | 34 | 43 | 54 | 66 | 80 |
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【題目】為迎接2022年北京冬奧會,推廣滑雪運動,某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標準是:滑雪時間不超過1小時免費,超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動,設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為,;1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為,;兩人滑雪時間都不會超過3小時.
(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率;
(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ,求ξ的分布列與數(shù)學期望E(ξ).
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【題目】某縣共有90間農(nóng)村淘寶服務站,隨機抽取5間,統(tǒng)計元旦期間的網(wǎng)購金額(單位:萬元)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個位數(shù).
(1)根據(jù)莖葉圖計算樣本均值;
(2)若網(wǎng)購金額(單位:萬元)不小于18的服務站定義為優(yōu)秀服務站,其余為非優(yōu)秀服務站.根據(jù)莖葉圖推斷90間服務站中有幾間優(yōu)秀服務站?
(3)從隨機抽取的5間服務站中再任取2間作網(wǎng)購商品的調(diào)查,求恰有1間是優(yōu)秀服務站的概率.
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