Question

設集合W是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列{a_n}的集合：①， ②.其中，是與無關的常數(shù).
（Ⅰ）若{}是等差數(shù)列，是其前項的和，，，證明：;
（Ⅱ）設數(shù)列{}的通項為，且，求的取值范圍；
（Ⅲ）設數(shù)列{}的各項均為正整數(shù)，且.證明.

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）M≥7（Ⅲ）見解析

解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{}的公差是d，則，解得，
所以         (2分)
由=－1＜0
得適合條件①；
又所以當n=4或5時，取得最大值20，即≤20，適合條件②
綜上，                 （4分）
（Ⅱ）因為,所以當n≥3時，，此時數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減；當n=1，2時，，即b₁＜b₂＜b₃，因此數(shù)列{b_n}中的最大項是b₃=7
所以M≥7              （8分）
（Ⅲ） 假設存在正整數(shù)k，使得成立
由數(shù)列{}的各項均為正整數(shù)，可得，即
因為，所以
由
因為
……………………依次類推，可得
設
這顯然與數(shù)列{}的各項均為正整數(shù)矛盾！
所以假設不成立，即對于任意n∈N^*,都有成立.          ( 14分)