Question

（2012•北京）設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿(mǎn)足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s（m，n）為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合．對(duì)于A∈S（m，n），記r_i（A）為A的第ⅰ行各數(shù)之和（1≤ⅰ≤m），C_j（A）為A的第j列各數(shù)之和（1≤j≤n）；記K（A）為|r₁（A）|，|R₂（A）|，…，|Rm（A）|，|C₁（A）|，|C₂（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表A，求K（A）的值；

1	1	-0.8
0.1	-0.3	-1

（2）設(shè)數(shù)表A∈S（2，3）形如

1	1	c
a	b	-1

求K（A）的最大值；
（3）給定正整數(shù)t，對(duì)于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)r_i（A），C_j（A），定義求出r₁（A），r₂（A），c₁（A），c₂（A），c₃（A），再根據(jù)K（A）為|r₁（A）|，|R₂（A）|，|R₃（A）|，|C₁（A）|，|C₂（A）|，|C₃（A）|中的最小值，即可求出所求．
（2）先用反證法證明k（A）≤1，然后證明k（A）=1存在即可；
（3）首先構(gòu)造滿(mǎn)足k(A)=

2t+1

t+2

的A={a_i，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后證明

2t+1

t+2

是最大值即可．

解答：解：（1）由題意可知r₁（A）=1.2，r₂（A）=-1.2，c₁（A）=1.1，c₂（A）=0.7，c₃（A）=-1.8
∴K（A）=0.7
（2）先用反證法證明k（A）≤1：
若k（A）＞1
則|c₁（A）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0
同理可知b＞0，∴a+b＞0
由題目所有數(shù)和為0
即a+b+c=-1
∴c=-1-a-b＜-1
與題目條件矛盾
∴k（A）≤1．
易知當(dāng)a=b=0時(shí)，k（A）=1存在
∴k（A）的最大值為1
（3）k（A）的最大值為

2t+1

t+2

．
首先構(gòu)造滿(mǎn)足k(A)=

2t+1

t+2

的A={a_i，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）：a1，1=a1，2=…=a1，t=1，a1，t+1=a1，t+2=…=a1，2t+1=-

t-1

t+2

，a2，1=a2，2=…=a2，t=

t2+t+1

t(t+2)

，a2，t+1=a2，t+2=…=a2，2t+1=-1．
經(jīng)計(jì)算知，A中每個(gè)元素的絕對(duì)值都小于1，所有元素之和為0，且|r1(A)|=|r2(A)|=

2t+1

t+2

，|c1(A)|=|c2(A)|=…=|ct(A)|=1+

t2+t+1

t(t+2)

＞1+

t+1

t+2

＞

2t+1

t+2

，|ct+1(A)|=|ct+2(A)|=…=|c2t+1(A)|=1+

t-1

t+2

=

2t+1

t+2

．
下面證明

2t+1

t+2

是最大值．若不然，則存在一個(gè)數(shù)表A∈S（2，2t+1），使得k(A)=x＞

2t+1

t+2

．
由k（A）的定義知A的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都不小于x，而兩個(gè)絕對(duì)值不超過(guò)1的數(shù)的和，其絕對(duì)值不超過(guò)2，故A的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都在區(qū)間[x，2]中．由于x＞1，故A的每一列兩個(gè)數(shù)符號(hào)均與列和的符號(hào)相同，且絕對(duì)值均不小于x-1．
設(shè)A中有g(shù)列的列和為正，有h列的列和為負(fù)，由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)g＜h，則g≤t，h≥t+1．另外，由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)A的第一行行和為正，第二行行和為負(fù)．
考慮A的第一行，由前面結(jié)論知A的第一行有不超過(guò)t個(gè)正數(shù)和不少于t+1個(gè)負(fù)數(shù)，每個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值不超過(guò)1（即每個(gè)正數(shù)均不超過(guò)1），每個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值不小于x-1（即每個(gè)負(fù)數(shù)均不超過(guò)1-x）．因此|r₁（A）|=r₁（A）≤t•1+（t+1）（1-x）=2t+1-（t+1）x=x+（2t+1-（t+2）x）＜x，
故A的第一行行和的絕對(duì)值小于x，與假設(shè)矛盾．因此k（A）的最大值為

2t+1

t+2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理，以及新定義的理解和反證法的應(yīng)用，同時(shí)考查了分析問(wèn)題的能力，屬于難題．