Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 平面， ， ，且， ， .

（1）求證： ；

（2）在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為，如果存在，求與平面所成角，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在， .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件先證平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可證線線垂直；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得平面，平面的法向量，以及B，根據(jù)線面角的定義可以求得BM與平面MAC所成的角的正弦值.

試題解析（1）證明：如圖，由已知得四邊形是直角梯形，

由已知，

可得是等腰直角三角形，即，

又平面，則，又，所以平面，

所以.

（2）存在，觀察圖形特點(diǎn)，點(diǎn)可能是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），下面證明當(dāng)是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角的大小為，過(guò)點(diǎn)作于，則，則平面.

過(guò)點(diǎn)作于，連接，

則是二面角的平面角，

因?yàn)?/span>是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），則，

在四邊形中求得，則，

所以當(dāng)是線段的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角的大小為，

在三棱錐中，可得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離是，

，

則，解得，

在中，可得，

設(shè)與平面所成的角為，則，

所以與平面所成的角為.