Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．（2）

【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，然后由得增區(qū)間，得減區(qū)間．

（2）在上，方程化為，求出導(dǎo)函數(shù)，

由時(shí)，，因此對(duì)分類討論，時(shí)，恒成立，時(shí)，有解，通過研究的單調(diào)性可得到的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理確定有無零點(diǎn)．綜合后可得結(jié)論．

（1）依題意，．

令，解得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，

由，得，單調(diào)減區(qū)間是．

（2）原方程可化為，即．

令，，則．

是增函數(shù)，時(shí)，，

(ⅰ)當(dāng)時(shí)，恒成立．

在上是增函數(shù)，，故原方程在內(nèi)無零點(diǎn)．

(ⅱ)當(dāng)時(shí)，由得，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

又，在區(qū)間上恒小于0．∴，

下面討論的正負(fù)；

令，．

則，

令是的導(dǎo)函數(shù)，

則，在上增函數(shù)．

．即，又

由零點(diǎn)存在性定理知，原方程在上有零點(diǎn)．即在上有零點(diǎn)．

綜上所述，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．