Question

設x軸、y軸正方向上的單位向量分別是

i

、

j

，坐標平面上點A_n、B_n（n∈N^*）分別滿足下列兩個條件：
①

OA1

=4

j

且

An-1A

n=

i

（n∈N^*，n≥2）；
②

OB1

=

i

+

1

2

j

且

Bn-1Bn

=-

1

n(n+1)

j

(n∈N*，n≥2)．（其中O為坐標原點）
（I）求向量

OAn

及向量

OBn

的坐標；
（II）設an=

OAn

•

OBn

，求a_n的通項公式并求a_n的最小值；
（III）對于（Ⅱ）中的a_n，設數列bn=

sin nπ 2 cos (n-1)π 2

(n+1)an-6n+3

，S_n為b_n的前n項和，證明：對所有n∈N^*都有Sn＜

89

48

．

Answer 1

分析：（I）利用向量加法的三角形法則的推廣，及已知條件①

OA1

=4

j

且

An-1A

n=

i

（n∈N^*，n≥2）；
②

OB1

=

i

+

1

2

j

且

Bn-1Bn

=-

1

n(n+1)

j

(n∈N*，n≥2)．得到

OAn

及

OBn

的坐標；
（II）an=

OAn

•

OBn

=n-1+

4

n+1

，利用基本不等式可求a_n的最小值；
（III）當n=1，2，3，…時，sin

nπ

2

cos

(n-1)π

2

=1，0，1，0，…從而S_n=b₁+b₃+b₅+b₇+…，根據數列bn=

sin nπ 2 cos (n-1)π 2

(n+1)an-6n+3

，從而可得bn=

1

n2-6n+6

＜

1

n2-6n+5

=

1

(n-1)(n-5)

=

1

4

[

1

(n-5)

-

1

(n-1)

]，進而可證．

解答：解：（I）由題意，

OAn

=

OA1

+

A1A2

+…+

An-1An

=(n-1，4)

OBn

=

OB1

+

B1B2

+…+

Bn-1Bn

=(

i

+

1

2

j

)-(

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)

j

=

i

+

1

n+1

j

=(1，

1

n+1

)；
（II）an=

OAn

•

OBn

=n-1+

4

n+1

；
an=n-1+

4

n+1

=n+1+

4

n+1

-2≥2
即a_n的最小值為a₁=2
（III）當n=1，2，3，…時，sin

nπ

2

cos

(n-1)π

2

=1，0，1，0，…
從而S_n=b₁+b₃+b₅+b₇+…，又bn=

0 1 n2-6n+6

，

n=2k n=2k+1

b₁=1，b3=-

1

3

，b₅=1，當n≥7時，bn=

1

n2-6n+6

＜

1

n2-6n+5

=

1

(n-1)(n-5)

=

1

4

[

1

(n-5)

-

1

(n-1)

]∴S_n=b₁+b₃+b₅+b₇+…=b₁+b₃+b₅+[b₇+b₁₁+b₁₅+…]+[b₉+b₁₃+b₁₇+…]＜1-

1

3

+1+

1

4

[

1

2

-

1

6

+

1

6

-

1

10

+…]+

1

4

[

1

4

-

1

8

+

1

8

-

1

16

+…]＜

5

3

+

1

8

+

1

16

=

89

48

點評：本題考查解決數列的問題關鍵是求出數列的通項，根據通項的特點，選擇合適的方法來解決，在高考題中數列出現在解答題中，屬于難題．