已知分別是橢圓的左，右頂點，點在橢圓 上，且直線與直線的斜率之積為．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）點為橢圓上除長軸端點外的任一點，直線，與橢圓的右準線分別交于點，．
①在軸上是否存在一個定點,使得?若存在，求點的坐標；若不存在,說明理由；
②已知常數(shù)，求的取值范圍.

（1）；（2）①存在點的坐標為，②.

解析試題分析：（1）利用題目條件建立關于a，b，c的方程組，解方程組即可；
（2）①對于存在性問題，可以先假設點存在，然后根據(jù)以及點P在橢圓上直線，與橢圓的右準線分別交于點，等相關條件建立方程，看看點E的橫坐標是不是定值，如果是即為所求，如果不是也就說明了不存在；②利用向量的坐標運算，計算， ，進而求出的表達式，在利用函數(shù)知識求取值范圍.

試題解析：（1）由題意得，，
 ， ∴，
由點在橢圓C上，則有：
 ，                2分
由以上兩式可解得．
∴橢圓方程為．         4分
（2）①橢圓右準線的方程為．                                  5分
假設存在一個定點,使得．設點()．
直線的方程為，令，，∴點坐標為．
直線的方程為，令，，
∴點坐標為．                                          7分
若，則，∵ ，，
∴．             9分
∵點在橢圓上，∴，∴ ，代入上式，得 ，
∴，∴點的坐標為．                       11分
②∵， ，
∴．
∵，，∴．
∴ ．                    13分
設函數(shù)，定義域為，
當時，即時，在上單調(diào)遞減，

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知為橢圓的左右焦點，是坐標原點，過作垂直于軸的直線交橢圓于，設 .
（1）證明： 成等比數(shù)列；
(2)若的坐標為，求橢圓的方程；
（3）在(2)的橢圓中，過的直線與橢圓交于、兩點，若，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線x2－＝1.
 
(1)若一橢圓與該雙曲線共焦點，且有一交點P(2,3)，求橢圓方程．
(2)設(1)中橢圓的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F，直線l為橢圓的右準線，N為l上的一動點，且在x軸上方，直線AN與橢圓交于點M.若AM＝MN，求∠AMB的余弦值；
(3)設過A、F、N三點的圓與y軸交于P、Q兩點，當線段PQ的中點為(0,9)時，求這個圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，點P(0，－1)是橢圓C1：＝1(a>b>0)的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2＋y2＝4的直徑．l1，l2是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l1交圓C2于A，B兩點，l2交橢圓C1于另一點D.

(1)求橢圓C1的方程；
(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

己知橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓C上，過F點的直線與橢圓C交于不同兩點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線斜率為1，求線段的長；
（3）設線段的垂直平分線交軸于點P（0，y0），求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線x2-y2=2若直線n的斜率為2 ，直線n與雙曲線相交于A、B兩點，線段AB的中點為P，
(1)求點P的坐標（x,y)滿足的方程（不要求寫出變量的取值范圍）；
(2)過雙曲線的左焦點F1，作傾斜角為的直線m交雙曲線于M、N兩點，期中，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點，求△F2MN的面積S關于傾斜角的表達式。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C1：＝1，橢圓C2以C1的短軸為長軸，且與C1有相同的離心率．
(1)求橢圓C2的方程；
(2)設直線l與橢圓C2相交于不同的兩點A、B，已知A點的坐標為(－2,0)，點Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且＝4，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知直線l：y＝x＋，圓O：x2＋y2＝5，橢圓E：＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證：兩切線的斜率之積為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，橢圓的的一個頂點和兩個焦點構成的三角形的面積為4，
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線與橢圓C交于A, B兩點，若點M（， 0），求證為定值.

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