Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，其邊長為2，E、F分別是AD，A₁B₁的中點，G、H是BB₁，BC的兩個動點，
（1）若直線FG與EH相交于點P，求證：P∈AB
（2）在（1）的條件下，若G是BB₁，的中點，求GH的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過證明點P∈面AB₁，P∈面AC，故點P在兩個平面的交線上證明點在線上；
（2）先在圖形中找到線段GH，觀察其所在的位置，將其納入三角形GBH中，用勾股定理求解其值．
解答：解：（1）證：由題，F(xiàn)G∩EH=P
又FG?面ABB₁A₁，EH?面ABCD
∴P∈面AB₁，P∈面AC
又面AB₁∩面AC=AB，由公理三知，P∈AB
（2）因G為中點，且FB₁∥BP，所以Rt△FGB₁≌Rt△GBP
所以BP=FB₁=1，
又△BPH∽△APE，所以BH=×AE=，
在Rt△GBH中，GH===
即GH的長為
點評：本題考查點、線、面間的距離計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的幾何圖形幾何特征得出兩點間的線段所在位置的幾何特征，根據(jù)所得的幾何特征進(jìn)行計算求出點線面的距離，本題考查了空間想像能力及數(shù)形結(jié)合的技巧