Question

【題目】已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)（8，m）和（9，3）．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=logaf（x）（a＞0，a≠1）在區(qū)間[16，36]上的最大值比最小值大1，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意y=f（x）是冪函數(shù)，設(shè)設(shè)f（x）=xα，圖象過點(diǎn)（8，m）和（9，3）即可求解m的值．

（Ⅱ）函數(shù)g（x）=logaf（x）在區(qū)間[16，36]上的最大值比最小值大1，對(duì)底數(shù)進(jìn)行討論，利用單調(diào)性求最值，可得實(shí)數(shù)a的值．

試題解析： 解：（Ⅰ）由題意，y=f（x）是冪函數(shù)，設(shè)f（x）=xα，圖象過點(diǎn)（8，m）和（9，3）

可得9α=3，所以α=，

故f（x）=．

∴m=f（8）=2．

故得m的值為2．

（Ⅱ）函數(shù)g（x）=logaf（x）即為g（x）=，

∵x在區(qū)間[16，36]上，

∴∈[4，6]，

①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）min=loga6，g（x）max=loga4，

由loga4﹣loga6=loga=1，

解得a=；

②當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）min=loga4，g（x）max=loga6，

由loga6﹣loga4=loga=1，

解得a=．

綜上可得，實(shí)數(shù)a的值為或．